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Schmalenbach Journal of Business Research

Erschienen in:

25.08.2017 | Originalartikel

Das Problem der Anschlussverzinsung

verfasst von: Lutz Kruschwitz

Erschienen in: Schmalenbach Journal of Business Research | Ausgabe 1-2/2018

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Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, wie Zinssätze für lange Laufzeiten gewonnen werden können, wenn es an tragfähigen Marktdaten mangelt. Hierzu gibt es (nicht nur) in der Literatur zur Unternehmensbewertung unterschiedliche Vorstellungen. Es werden zahlreiche Alternativen zusammengetragen und kritisch gewürdigt. Besonders intensiv wird die Extrapolation von Zinsstrukturfunktionen diskutiert. Neben den bekannten Modellen der Nelson-Siegel-Klasse gibt es hier mit dem Smith-Wilson-Modell ein Konzept, das in der Literatur zur Unternehmensbewertung bislang nur wenig Aufmerksamkeit gefunden hat. Interessanterweise existiert eine jahrzehntealte Diskussion zur „social discount rate“, die Ähnlichkeit mit der Problematik angemessener Anschlusszinssätze besitzt. Es könnte ratsam sein, dass sich die Literatur zur Unternehmensbewertung auch damit künftig auseinandersetzt.

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Siehe Bounama et al. (2002).

Falls $g\geq i$ ist, geht der Unternehmenswert über alle Grenzen.

In diesem Sinne äußert sich beispielsweise auch Lobe (2010).

Siehe dazu beispielsweise Kruschwitz und Husmann (2012), S. 154–160.

Das ist das charakteristische Zahlungsbild einer Nullkuponanleihe (Zero Bond).

$\mathbb{N}_{0}$ repräsentiert die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der $0$.

Siehe Drukarczyk und Schüler (2016), S. 239.

Drukarczyk (2003), S. 355.

Bei Drukarczyk und Schüler (2016), S. 238, wird auch ausdrücklich von (impliziter) Prognose gesprochen.

So Schwetzler (1996), S. 1083.

Vgl. Schwetzler (1996), S. 1091.

Es handelt sich also nicht etwa um im Zeitpunkt $0$ vereinbarte Terminpreise, sondern um Kassapreise, die sich in Zukunft einstellen werden.

Siehe Ballwieser (2003), S. 24.

Ballwieser (2003), S. 30 f.

Reese und Wiese (2007), S. 43. Ähnlich auch Obermaier (2006), S. 476 f.

Siehe oben Schema (12).

Siehe Fußnote 82.

Institut der Wirtschaftsprüfer in Deutschland (2013a), S. 57.

Institut der Wirtschaftsprüfer in Deutschland (2008), Rz. 117.

Siehe hierzu Abschn. 8.1 des vorliegenden Beitrags.

Ballwieser und Hachmeister (2016), S. 93 f.

Ballwieser und Hachmeister beziehen sich auf Reese und Wiese, die aber auch nur notieren, dass eine solche Vorgehensweise plausibel erscheint, siehe Reese und Wiese (2007), S. 45.

Drukarczyk und Schüler (2016), S. 241.

Vgl. Thomas (2008), S. 36 ff.

Siehe Wenger (2003), S. 484 ff.

Ballwieser (2003), S. 30.

Bei der nachstehenden formalen Präzisierung verwende ich ein Vorlesungsmanuskript, das mir dankenswerterweise von Leonhard Knoll überlassen wurde.

Damit wird implizit unterstellt, dass die länger laufende Anleihe zum Nennwert notiert.

Formal handelt es sich um die Bestimmung der Nullstelle einer streng monotonen Funktion. Für$m=10$, $n=30$, $y_{m}=5,00\,\%$ und $y_{n}=6,00\,\%$ bekommt man $y_{\infty}=7,21\,\%$.

Details dazu findet man bei Institut der Wirtschaftsprüfer in Deutschland (2013b), Rz. 356, und Wagner et al. (2006), S. 1015.

Im Detail schlägt er vor, den Einheitszinssatz $i$ mit

$$\sum\limits_{t=1}^{m}\frac{1}{(1+y_{m})^{t}}+\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{t=m+1}^{m+n}\frac{1}{(1+y_{m})^{m}\,(1+y_{\infty})^{t-m}}\stackrel{!}{=}\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{t=1}^{n}\frac{1}{(1+i)^{t}}\,,$$

zu ermitteln, woraus sich

$$i=\left(\frac{(1+y_{m})^{m}-1}{y_{m}\,(1+y_{m})^{m}}+\frac{1}{(1+y_{m})^{m}}\,\frac{1}{y_{\infty}}\right)^{-1}$$

ableiten lässt. Mit den Daten aus Fußnote 29 erhält man $i=6,16\,\%$.

Wenger (2003), S. 486.

Zum Begriff der Intuition im Zusammenhang mit der Unternehmensbewertung siehe Kruschwitz et al. (2010), S. 370 ff.

Vgl. Ballwieser (2003), S. 31.

Damodaran (2002), S. 155.

Siehe Breuer (2002), S. 224 f.

Vgl. Knoll und Deininger (2004), S. 376 ff.

Es bleibt unklar, worin das Missverständnis bestehen soll.

Jonas et al. (2005), S. 650.

Darauf weisen auch Knoll und Deininger (2004), Fußnote 41, hin.

Siehe Knoll und Deininger (2004), S. 376.

Risikolose Anleihen mit Laufzeiten von mehr als 30 Jahren lassen sich praktisch nicht finden. Daher ist $s_{\text{max}}=30$ angemessen.

Siehe Kruschwitz und Husmann (2012), S. 353.

Vgl. Jonas et al. (2005), S. 647.

Jonas et al. (2005), S. 650.

Jonas et al. (2005), S. 647.

Vgl. beispielsweise Ballwieser (2003), S. 33, Drukarczyk und Schüler (2016), S. 238, und Obermaier (2006), S. 476.

Moxter (1982), S. 227.

Vgl. Ballwieser (2003), S. 33. Schwetzler (1996), S. 1091, bezeichnet dieselbe Vorgehensweise interessanterweise als Verzicht auf eine Zinsprognose!

Daran ändert sich auch nichts, wenn von expliziten Expertenprognosen gesprochen wird. Immerhin wäre denkbar, dass diese Fachleute implizite Prognosen vornehmen. Dann aber wären explizite und implizite Prognosen nicht mehr zu unterscheiden.

Vgl. Ballwieser (2003), S. 33.

Vgl. Drukarczyk und Schüler (2016), S. 238. Ähnlich äußert sich Obermaier (2008), S. 506.

Schwetzler (1996), S. 1091.

Damodaran (2010), S. 4 f.

Jevons (1871), S. 92.

Auf die Angabe einer konkreten Währung wird hier und im Folgenden verzichtet.

Dieser Ansatz wäre korrekt, wenn die Anleihe im Zeitpunkt $t=3$ zum Preis von $100$ notieren und vom Zeitpunkt $t=4$ an dauerhaft Cashflows in Höhe von $7$ abwerfen würde.

Siehe beispielsweise Benninga (2014), S. 17, Brealey et al. (2011), S. 27 f. oder Ross et al. (2005), S. 109.

Die Schweizerische Rückversicherungs-Gesellschaft AG hat im Februar des Jahres 2012 eine unbefristete Obligation mit einem Volumen von 320 Mio. CHF begeben, deren Kupon in Höhe von 7,25 % jeweils am 01.09. eines Jahres fällig ist (ISIN CH0142132049).

Siehe oben Abschn. 2.2.3.

Reese und Wiese (2007).

Siehe Institut der Wirtschaftsprüfer in Deutschland (2013b), Rz. 354. Ebenso beispielsweise auch Krenek (2016), S. 464.

Vgl. Ballwieser und Friedrich (2015), S. 452 f. In Abschn. 8.2 wird auf dieses Modell ausführlich eingegangen werden.

Wir konzentrieren uns im Folgenden auf Kassazinssätze.

Durand (1942), S. 9.

Er wies darauf hin, dass die bis dahin bekannten mathematisch-statistischen Verfahren angesichts des ihm zur Verfügung stehenden Datenmaterials ebenfalls nicht unproblematisch waren.

Siehe beispielsweise McCulloch (1971).

Man geht in der Regel nicht über Polynomfunktionen dritten Grades hinaus (kubische Splines).

Es sind auch Splines vorgeschlagen worden, die stückweise aus Exponentialfunktionen zusammengesetzt sind, siehe Vašíček und Fong (1982).

Präzise müsste von Terminzinsfunktionen gesprochen werden. Jedoch sind die Zusammenhänge zwischen Spot Rates und Forward Rates eineindeutig. In diskreter Zeit wird die aktuelle Terminzinsfunktion durch alle Zinssätze $i_{s-1,s}$ mit $s=1,\ldots,n$ beschrieben. Die Menge aller Zinssätze $i_{0,t}$ mit $t=1,\ldots,n$ repräsentiert dagegen die aktuelle Spot Rate-Funktion. Wenn der Finanzmarkt arbitragefrei ist, gilt $(1+i_{0,t})^{t}=\Pi_{s=1}^{t}(1+i_{s-1,s})$, vgl. Kruschwitz und Husmann (2012), S. 154 ff. Mathematiker bezeichnen Funktionen als glatt, wenn sie unendlich oft differenzierbar sind. Man muss dann folgerichtig die Zeit stetig modellieren. An dem Zusammenhang zwischen Spot Rates und Forward Rates ändert das aber prinzipiell nichts.

Vgl. Shea (1984).

Siehe Nelson und Siegel (1987).

Wegen einer ausgezeichneten Übersicht sei auf Diebold und Rudebusch (2013) verwiesen.

Wer den Zahlungsstrom eines real existierenden Unternehmens zu bewerten hat, muss bei der Diskontierung den tatsächlichen Fälligkeitsdaten dieser Zahlungen in angemessener Weise Rechnung tragen. Eine sichere Zahlung, die im Zeitpunkt $t$ fällig ist, ist prinzipiell mit der Spot Rate $i_{0,t}$ abzuzinsen. Nun kommt es allerdings mehr als häufig vor, dass sichere Anleihen, die genau im Zeitpunkt $t$ fällig sind, am Markt gar nicht gehandelt werden. Vielmehr ist es fast immer so, dass sich am Markt die Spot Rates $i_{0,s}$ und $i_{0,u}$ beobachten lassen, aber $s<t<u$ gilt. Die Abstände zwischen den beteiligten Zahlungszeitpunkten sind nicht notwendigerweise klein. In der Praxis tätige Bewerter müssten daher ein großes Interesse an stetigen Zinsstrukturfunktionen haben, weil sie daraus Spot Rates für beliebige Laufzeiten ableiten können.

So unter anderen die Europäische Zentralbank und die Deutsche Bundesbank. Die deutschen Daten findet man unter https://www.bundesbank.de/Navigation/DE/Statistiken/Zeitreihen_Datenbanken/Makrooekonomische_Zeitreihen/its_list_node.html?listId=www_skms_it03c, die von der Europäischen Zentralbank ermittelten Parameter unter https://www.ecb.europa.eu/stats/financial_markets_and_interest_rates/euro_area_yield_curves/html/index.en.html. (Abruf am 07.08.2017)

Siehe Deutsche Bundesbank, Monatsbericht Oktober 1997, S. 61 ff.

Siehe vor allem Björk und Christensen (1999) und Filipović (1999).

Gemeint sind die Entwürfe von Ho und Lee (1986), Hull und White (1990) und insbesondere Heath et al. (1992).

Siehe hierzu Krippner (2007), Christensen et al. (2009), Coroneo et al. (2011), Christensen et al. (2011) sowie Krippner (2015).

Vgl. Ruiz de Vargas und Schüler (2013), S. 168. Siehe dazu im Vergleich auch den Beitrag von Schich (1997), S. 21 ff. und Anhang 1. Die dünn durchgezogene Gerade zeigt, wie die Verteilung aussähe, wenn alle Laufzeitsegmente gleich stark besetzt wären.

Man konnte erfahren, dass sich die hier genannte Zahl auf die Tatsache zurückführen lässt, dass ein Arbeitsblatt in Excel bis zur Version 2003 nicht mehr als $2^{8}=256$ Spalten unterstützte.

Vgl. Institut der Wirtschaftsprüfer in Deutschland (2007), Abschn. A, Rz. 289.

Die gegenwärtige Auffassung der deutschen Wirtschaftsprüfer wird in Abschn. 3 thematisiert.

Nelson und Siegel (1987), S. 43 f.

Die Arbeit enthält den Hinweis, dass sie nicht an Dritte weitergegeben werden darf. Der Verfasser des vorliegenden Beitrags ist jedoch in ihrem Besitz. Persönliche Rücksprache mit einem der Autoren ergab, dass die ursprüngliche Textdatei verloren ging und daher auch künftig nicht mit einer Veröffentlichung zu rechnen sei.

Zu nennen sind beispielsweise Finanstilsynet: The Financial Supervisory Authority of Norway (2010), S. 5 f., Andersson und Lindholm (2013), S. 2, Abildgaard und Posselt (2014), S. 24 f., Gourieroux und Montfort (2015), S. 2, Gach (2016), S. 1 f., Lagerås und Lindholm (2016), S. 1 f., European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) (2017b), Rz. 129 ff.

$W(\cdot)$ wird als Wilson-Funktion bezeichnet.

In der Originalarbeit von Smith und Wilson wird stets die Bezeichnung „long forward rate“ benutzt.

Die Kalibrierung setzt keinesfalls unbedingt Zero Bonds voraus. Wegen Details sei auf European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) (2017b), Rz. 167 ff., verwiesen. Allerdings erleichtert der Rückgriff auf Nullkuponanleihen die folgende Darstellung.

Siehe dazu im Detail Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors (CEIOPS) (2011), S. 13 ff. und Ballwieser und Friedrich (2015), S. 453.

Man vergleiche beispielsweise Gourieroux und Montfort (2015), S. 3, und Andersson und Lindholm (2013), S. 2.

Siehe European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) (2017b), Rz. 124.

Vgl. European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) (2017b), Rz. 351.

Siehe Warth & Klein, Grant Thornton (2015). Das Gutachten ist öffentlich verfügbar.

Warth & Klein, Grant Thornton (2015), Rz. 35, ähnlich Rz. 240. Allerdings nehmen die Gutachter Variationen bei der „ultimate forward rate“ vor, um Bandbreiten für die erforderlichen Rückstellungen abzuschätzen.

So Ballwieser und Friedrich (2015), S. 452.

Smith und Wilson (2000), S. 5.

Vgl. Wahlers (2013), S. 18 und 21.

Siehe dazu Fisher (2001), S. 4 f.

100

Froot (1989), S. 283.

101

Siehe Gourieroux und Montfort (2015) und Lagerås und Lindholm (2016). Smith und Wilson (2000), S. 2, und Thomas und Maré (2007), S. 16, waren vom Gegenteil überzeugt.

102

Ballwieser und Hachmeister führen sehr überzeugend aus, dass richtige Unternehmenswerte stets zweckabhängig sind, siehe Ballwieser und Hachmeister (2016), S. 1 f.

103

Siehe European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) (2017b), Rz. 122, Tab. 8, in Verbindung mit Europäische Union (2014), Rz. 30.

104

Vgl. Broeders et al. (2016), S. 22 f.

105

Vgl. Kocken et al. (2012), S. 9.

106

Darauf haben bereits Gebhardt und Daske (2005), S. 653, hingewiesen.

107

Siehe beispielsweise Antonio et al. (2009), S. 40, und Chief Risk Officers Forum (2010), S. 19 ff.

108

Vgl. European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) (2017b), Rz. 355.

109

Empfehlenswert dazu ist der Beitrag von Kim und Orphanides (2007).

110

Bei Hull (2009), S. 667 ff., findet man hierzu eine Lehrbuchdarstellung. Man vergleiche diese mit Pelsser (2001), der sowohl theoretisch konsistente als auch Ad-hoc-Adjustierungen diskutiert.

111

Siehe European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) (2017b), Rz. 356–359.

112

Auf einige der im Folgenden aufgegriffenen Punkte wurde der Verfasser dankenswerterweise von einem Gutachter aufmerksam gemacht.

113

Siehe http://www.solvencyiiwire.com/two-absurd-departures-from-economic-reality/1584750 (Abruf am 07.08.2017) sowie de Kort and Vellekoop (2016), S. 113 f.

114

European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) (2017a).

115

Der Gesamtverband der Deutschen Versicherungswirtschaft hat dessen ungeachtet erklärt, dass er die beschriebene Vorgehensweise der EIOPA nicht nachvollziehen kann, vgl. http://www.gdv.de/2017/04/absenkung-des-langfristigen-kalkulationszinses-ist-unbegruendet/ (Abruf am 07.08.2017). Er würde die vorläufige Beibehaltung von $f_{\infty}=4,2\,\%$ begrüßen.

116

Siehe beispielsweise Drukarczyk und Schüler (2016), S. 238.

117

Siehe Finanstilsynet: The Financial Supervisory Authority of Norway (2010), S. 5, Lord et al. (2012), S. 17 f., sowie Abildgaard und Posselt (2014), S. 36 ff.

118

Siehe European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) (2017b), Rz. 27, in Verbindung mit Europäische Union (2014), Rz. 30.

119

Siehe European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) (2017b), Rz. 127

120

Vgl. Broeders et al. (2016), S. 26 ff.

121

Vgl. Balter et al. (2015), S. 14.

122

Weitzman (1999), S. 23.

123

Zu denken ist beispielsweise an Kenneth J. Arrow, Tjalling C. Koopmans, Amartya K. Sen, Joseph E. Stiglitz und Jan Tinbergen, um nur einige zu nennen.

124

Vgl. Ramsey (1928).

125

Eine gründliche und gleichwohl gut nachvollziehbare Einführung findet man bei Gollier (2013), S. 26 ff.

126

Man spricht hier von der einfachen Ramsey-Formel. Inzwischen gibt es erweiterte Versionen, siehe dazu Arrow et al. (2012), S. 4, mit weiteren Hinweisen.

127

Siehe Arrow et al. (2012), S. 7.

128

Eine aktuelle Umfrage unter 200 anderen Fachleuten hat dagegen ergeben, dass deren Antworten zum gesellschaftlichen Diskontierungssatz mehrheitlich nicht mit Ramseys Regel vereinbar waren, siehe Drupp et al. (2015).

129

Vgl. Arrow et al. (2012), S. 6 ff.

130

Siehe dazu im Detail Arrow et al. (1996).

131

Vgl. Ramsey (1928), S. 543.

132

Siehe Phelps und Pollak (1968) und Fels und Zeckhauser (2008).

133

Stern (2006) hat (willkürlich) $\delta=0,1\,\%$ gewählt, woraus folgen würde, dass die Menschheit in 100 Jahren nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von $e^{-0,001\cdot 100}\approx 90,4\,\%$ existiert. Siehe auch Gollier (2013), S. 37 f.

134

Vgl. Dybvig et al. (1996).

135

Vgl. Weitzman (1999), S. 29. Newell und Pizer (2003) kamen auf der Grundlage empirischer Analysen und unter der Annahme, dass Zinssätze Zufallsprozessen folgen, zu vergleichbaren Resultaten.

136

Siehe dazu Azfar (1999) mit vielen weiteren Hinweisen.

137

Siehe dazu Winkler (2006).

138

Weitzman (1999), S. 28.

139

Siehe Abschn. 3.

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Titel: Das Problem der Anschlussverzinsung
verfasst von: Lutz Kruschwitz
Publikationsdatum: 25.08.2017
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Erschienen in: Schmalenbach Journal of Business Research / Ausgabe 1-2/2018
Print ISSN: 0341-2687
Elektronische ISSN: 2366-6153
DOI: https://doi.org/10.1007/s41471-017-0042-0

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