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Erschienen in:

2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

9. Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik

verfasst von : Stefan Scherer

Erschienen in: Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik vereint die elektromagnetischen, schwachen und starken Kräfte im Rahmen einer konsistenten Quantenfeldtheorie. In diesem abschließenden Kapitel wollen wir aus gruppentheoretischer Sicht alle Fäden zusammenführen und mit ihrer Hilfe die Struktur des Standardmodells erläutern.

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Vorheriges Kapitel Spontan gebrochene Symmetrien

Bisweilen wird für die Diskussion der elektroschwachen Wechselwirkung (ohne starke Wechselwirkung) die Begriffsbildung elektroschwaches Standardmodell verwendet.

Die experimentellen Werte stammen aus Olive et al.; 2014. Bei der Masse der Gluonen handelt es sich um einen theoretischen Wert. Eine Masse mit einem Wert von bis zu einigen MeV kann nicht ausgeschlossen werden. Die experimentelle Obergrenze für die Masse des Photons ist $1\cdot 10^{-18}\,\mathrm{e{\mskip-2.0mu}V}$.

Der Wert für$\sin^{2}(\theta_{w})$ hängt von der Definition und von der Renormierungsvorschrift ab. Der angegebene Wert bezieht sich auf (9.1c) mit Kopplungen im sog. modifizierten, minimalen Abzugsschema ($\overline{\text{MS}}$) für eine Skala $\mu=M_{Z}$.

Im Standardmodell sind die Neutrinos masselos. Die Beobachtung von Neutrinooszillationen bedeutet, dass das Modell um einen Mechanismus erweitert werden muss, der den Neutrinomassen Rechnung trägt [siehe Nakamura und Petcov; 2014 und dort angegebene Referenzen].

Die Tatsache, dass der sog. θ-Term so klein ist, wird als starkes CP-Problem bezeichnet. Wir verweisen auf Peccei; 2008 für eine weiterführende Diskussion.

Ein Wert von $\alpha_{s}(M_{Z}^{2})=0{,}1185\pm 0{,}0006$ bei der Skala des Z-Bosons entspricht mithilfe des Vierschleifenausdrucks für (9.7) einem Wert von $\Lambda^{n_{f}=5}_{\overline{\text{MS}}}=(214\pm 7)$ MeV [Olive et al.; 2014]. Hierbei weist die Tiefstellung $\overline{\text{MS}}$ auf das sog. modifizierte, minimale Abzugsschema als Renormierungsschema hin.

In Glashow; 1961 wurden die elektromagnetische Wechselwirkung und die schwache Wechselwirkung auf den Austausch des masselosen Photons und dreier massebehafteter Vektorbosonen zurückgeführt. Der Higgs-Mechanismus war zu diesem Zeitpunkt noch nicht bekannt.

Die kovariante Ableitung bzgl. der starken Wechselwirkung ist in (9.4) angegeben. Diese muss noch gemäß $D_{\mu}q_{f}=D_{\mu}q_{L\,f}+D_{\mu}q_{R\,f}$ zerlegt werden.

Für dass Higgs-Feld ϕ ist y gleich der Einheitsmatrix. Diese haben wir in der kovarianten Ableitung unterdrückt.

Die Begriffsbildung Yukawa-Kopplung bezieht sich auf die Analogie zur Wechselwirkung zwischen Pionen und Nukleonen: ${\mathcal{L}}_{\pi NN}=-ig\bar{\Psi}\gamma_{5}\vec{\tau}\cdot\vec{\Phi}\Psi$ (siehe Beispiel 6.2). Diese Wechselwirkung basiert nicht auf einer Eichsymmetrie.

Auch hier führen wir ein eigenes Symbol ${\mathcal{D}}_{\mu}H$ ein, weil ${\mathcal{D}}_{\mu}H$ sich nicht wie H tansformiert. Siehe Fußnote 22 in Abschn. 8.7.1.

Man verwende $2gg^{\prime}=g^{2}\tan(\theta_{w})+g^{\prime 2}\cot(\theta_{w})$.

Die Mischung manifestiert sich in den schwachen Wechselwirkungen der Quarks, die mit einer Änderung der Ladung verknüpft sind. Per Konvention wird die Mischung den Quarks mit $Q=-\frac{1}{3}$ zugeschrieben [Donoghue et al.; 1992].

Für den allgemeinen Fall von n Generationen ergeben sich $n(n-1)/2$ Winkel und $n(n+1)/2-(2n-1)=(n-1)(n-2)/2$ Phasen. Für n = 2 bleibt ein Winkel als Parameter übrig, was dem Szenario von Cabibbo; 1963 aus der Prä-QCD-Ära entspricht, als die schwache Wechselwirkung mithilfe eines Oktetts schwacher Ströme der Form $V^{\mu}_{a}-A^{\mu}_{a}$beschrieben wurde.

Salopp gesprochen ergibt sich die Phase des Vertexfaktors aus $\mathrm{i}\,{\mathcal{L}}_{\text{int}}$.

Einfache Lie-Gruppen werden durch einfache Lie-Algebren erzeugt [siehe Definition 3.3]. Insofern weicht die Begriffsbildung in der Theorie der Lie-Gruppen von der allgemeinen gruppentheoretischen Definition 1.3 ab. Im allgemeinen Sinne ist SU$(n)$ nicht einfach (siehe Beispiel 1.3), wohl aber die Faktorgruppe $\mathrm{SU}(n)/Z$ mit dem Zentrum Z. Im Sprachgebrauch der Lie-Theorie ist SU(n) einfach, weil die Lie-Algebra su(n) einfach ist.

Eine weiterführende Diskussion findet sich z. B. in Cheng und Li; 1984, Abschnitt 14.1, oder Saller; 1985, Kapitel 3 und 8. Andere einfache Rang-4-Algebren funktionieren nicht, da sie keine nichtäquivalenten, komplex konjugierten Darstellungen besitzen.

Wir sind etwas nachlässig in der Terminologie und verwenden die Charakterisierung des Trägerraums der Darstellung – hier der direkten Summe $(\mathbf{3},\mathbf{1})_{-\frac{2}{3}}\oplus(\mathbf{1},\mathbf{2})_{1}$ – synonym für die Darstellung.

$\frac{3}{5}\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}$.

Die erste Zeile ist um null Kästchen länger als die zweite Zeile, die zweite um ein Kästchen länger als die dritte, die dritte um null Kästchen länger als die vierte, die vierte um null Kästchen länger als die fünfte. Eine komplette Spalte am linken Rand kann gestrichen werden.

Laut Definition 5.2 gilt für $U=(U_{ij})\in\text{SU}(5)$:

$$\begin{aligned}\displaystyle\psi^{\prime}_{j}&\displaystyle={U_{j}}^{i}\psi_{i},\quad{U_{j}}^{i}=U_{ji},\\ \displaystyle\phi^{\prime j}&\displaystyle={U^{j}}_{i}\phi^{i},\quad{U^{j}}_{i}=U^{\ast}_{ji}.\end{aligned}$$

Die Tiefstellung GUT steht für engl. grand unified theory, „große vereinheitlichte Theorie“.

Die ursprüngliche Abschätzung von $M_{X}=5\cdot 10^{14}\,\mathrm{Ge{\mskip-2.0mu}V}$ basierte auf einer Analyse der laufenden Kopplungen g, $g^{\prime}$ und g ₃ des Standardmodells und auf der Frage, bei welcher Skala die drei Kopplungen in eine gemeinsame Kopplung g ₅ verschmelzen [siehe Cheng und Li; 1984, Abschnitt 14.3]. Tatsächlich treffen sich die Kopplungen im Standardmodell gar nicht in einem Punkt, während sie dies in einer supersymmetrischen Erweiterung bei einer Skala von der Größenordnung $10^{16}\,\mathrm{Ge{\mskip-2.0mu}V}$ tun [siehe Fig. 16.1 in Raby; 2014], sodass aus heutiger Sicht die Masse um zwei Größenordnungen unterschätzt ist.

Für n = 2 und n = 3 gilt $2\,\text{Sp}\big(H^{4}\big)=\big[\text{Sp}\big(H^{2}\big)\big]^{2}$.

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Titel: Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik
verfasst von: Stefan Scherer
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik
Print ISBN: 978-3-662-47733-5

Electronic ISBN: 978-3-662-47734-2

Copyright-Jahr: 2016
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-47734-2_9

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