1. Das Zusammenwirken von Rad und Schiene

Die spurführenden Kräfte bei der Bogenfahrt von Eisenbahn-Fahrzeugen lassen sich nach einer von Prof. Dr.-Ing. Hermann Heumann (ehemals RWTH Aachen) angegebenen Methode in vereinfachter und anschaulicher Art angeben. Dabei werden vielfach grobe Annäherungen an die tatsächlichen und wesentlich komplizierteren Verhältnisse vorgenommen. Der große Wert der Heumann-Methode im Zeitalter der komplexen Programm-Pakete besteht in der Möglichkeit deren Ergebnisse rasch auf Plausibilität prüfen zu können. Ein Radsatz steht im Gleis, dessen Schienen ausreichend voneinander entfernt sind. Notwendigerweise besteht ein freies Spiel auf jeder Seite des Spurkranzes, dessen Größe etwa einige Millimeter beträgt. Wenn die beiden Rad-Schiene-Kombinationen jeder Seite virtuell solange zusammen geschoben werden, bis die möglichen Rad-Schiene-Kontaktpunkte zusammenfallen (Abb. .  1.33), dann wurde der Radsatz auf einen einzigen Punkt reduziert und es bestehen freie Spiele zu den Schienen auf beiden Seiten. Die Summe der beiden freien Spiele bildet den „Spurkanal“ mit der Breite σ [mm]. Der Radsatz kann sich in diesem Kanal frei bewegen. Ein Radberührung auf der linken Seite des Spurkanals bedeutet „Anlauf des Radsatzes an der linken Schiene“ usw.

Der Radius jedes Bogens einer Eisenbahntrassierung ist um vieles größer als das seitliche Spiel des Radsatzes in der Spur. Dies erlaubt für das betrachtete Problem den Ersatz des Kreisbogens durch eine Parabel (Abb. .  1.34). Formel der Parabel mit Längskoordinate [m] Querkoordinate [mm] Radius [m] Die Dimensionen in Längsrichtung des Gleises werden im Maßstab 1:100 aufgetragen. Die Dimensionen in Querrichtung werden im Maßstab 1:1 aufgetragen.

Auf diese Weise wird die Kante der Außenschiene dargestellt. Die Kante der Innenschiene wird durch Parallel-Verschiebung dieser Kontur nach um das „Spurspiel σ“ nach „innen“ erhalten.

Das Laufwerk wird auf seine Achsanordnung reduziert, dabei berührt erfahrungsgemäß die in Fahrtrichtung vordere, führende Achse die äußere Schiene. Die weiteren Achsen können wie folgt verschiedene Positionen einnehmen: Wenn die Achsen in einem Rahmen (z. B. Drehgestell) fest geführt sind, dann müssen alle Punkte (welche ja die einzelnen Achsen repräsentieren) auf einer Linie liegen. Wenn Achsen seitlich verschiebbar ausgeführt sind, dann kann dies im Vogel-Plan durch eine (scheinbare) Verbreiterung des Spurkanals berücksichtigt werden. Alle Achsen müssen innerhalb des Spurkanals zu liegen kommen. Ist dies nicht der Fall, was bei mehr-als-2-achsigen Laufwerken oder bei Anschlag an Begrenzungen der Drehgestell-Verdrehung unter dem Wagenkasten der Fall sein kann, dann wird dadurch eine Unverträglichkeit angezeigt. Bei kleinen Überschreitungen kann ein Durchfahren des Gleisbogens durch Aufspreizen der Spur noch möglich sein, bei größeren Werten ist eine Entgleisung unvermeidlich. Die hintere Achse wird nun (gedanklich) seitlich um den durch die Berührung der vorderen Achse gegebenen Drehpunkt geschwenkt. Drei Situationen sind möglich: Die hintere Achse berührt die innere Schiene mit einem Berührungswinkel, der bei Weiterlaufen ein Ablösen der hinteren Achse von der inneren Schiene in Richtung zum Spurkanal angibt. Diese Situation wird in Wirklichkeit nicht eintreten, sondern die hintere Achse wird in einer Position zwischen den Schienen verbleiben. Dieser Zustand wird „Freilauf“ genannt. Die hintere Achse berührt die innere Schiene mit einem Berührungswinkel, der ein Weiterlaufen der Achse in die Bogen-Innenseite nahe legt. Diese Situation wird „Spießgang“ genannt. Bei mehrachsigen Laufwerken kann es vorkommen, dass eine mittlere Achse zuerst die innere Schiene berührt und damit die Führung (zusammen mit der vorderen Achse) übernimmt. Dies zeigt ungünstige Führungsverhältnisse mit hohen Spurkranzkräften an. Bei sehr hohen, seitlich auf das Fahrzeug wirkenden Kräften (Fliehkräfte bei Fahrt mit überhöhter Geschwindigkeit, Windkräfte etc.) kann die hintere Achse auch an die Außenschiene gepresst werden. Dies wird als „Außenanlauf“ oder „Tangentialstellung“ bezeichnet. Die Grenze zwischen „Freilauf“ und „Spießgang“ wird durch jene Fahrzeugstellung definiert, bei welcher die hintere Achse das Gleis tangential berührt. Für ein zwei-achsiges Laufwerk gilt hierfür: \({{\sigma }_{\lim it}}=\frac{\left( 2a \right){}^\text{2}}{2R}\); wenn σ > σ _limit dann „Freilauf“, wenn σ < σ _limit dann „Spießgang“ Der Vogel-Plan (Abb. .  1.35) ist eine rein geometrische Untersuchung. Er erlaubt die geometrischen Bedingungen der Bogenfahrt zu beurteilen, doch ist zunächst noch nichts über die beteiligten Kräfte ausgesagt. Die nachfolgenden Überlegungen setzen eine Reihe von Vereinfachungen voraus: Die Achsen sind spielfrei im Laufwerksrahmen gelagert. Alle Räder weisen gleiche Aufstandskräfte auf. Alle Räder haben den gleichen Durchmesser. Alle Räder haben zylindrisches Radprofil. Die Reibungskräfte F sind konstant und unabhängig vom Schlupf, damit gilt: F = μηQ, wobei diese Reibungskräfte der Relativbewegung entgegengesetzt wirken (siehe dazu auch die Anmerkungen am Ende des Abschnitts). Die Bogenfahrt wird (gedanklich) in zwei Bewegungen zerlegt (Abb. .  1.36): Drehung um jenen Punkt auf der Mittelachse des Laufwerkes, von welchem eine Senkrechte zur Laufwerksachse den Mittelpunkt des Gleisbogens schneidet. Dieser Punkt wird „Reibungsmittelpunkt M“ genannt. Jede Drehung um M aktiviert Reibungskräfte in den Radaufstandspunkten. Daher genügt es, zur Bestimmung der bei der Bogenfahrt auftretenden Kräfte nur die Drehung um den Reibungsmittelpunkt zu betrachten. Geradlinige Verschiebung in Richtung der Laufwerksachse bis zur Berührung der vorderen Achse mit der Außenschiene – dies erfolgt durch geradliniges Rollen ohne die Wirkung von Rad/Schiene-Zwangskräften. (Die zur Rückführung auf den Bogenmittelpunkt nötige Seitenverschiebung ist „klein von zweiter Ordnung“ und wird vernachlässigt.)

Im nächsten Schritt wird die „Linie des Momentes M der Reibungskräfte“ ermittelt. Dazu wird ein Grundriss des Laufwerkes maßstabsgerecht gezeichnet. Durch Annahme des „Reibungsmittelpunktes M“ auf verschiedenen Positionen entlang der Laufwerksachse kann das „Reibungsmoment M“ durch das Aufsummieren aller Produkte „Reibungskraft mal Reibungsarm“ ermittelt werden. mit Radkraft [kN] Reibungskoeffizient [ 1] Entfernung der Radaufstandspunkte i zum Reibungsmittelpunkt [m] Da die Laufwerke symmetrisch um die Längsachse ausgeführt sind, genügt es die Summation der Richtstrahlen für eine einzige Seite auszuführen. Das „Reibungsmoment M“ wird dann zu mit den gleichen Bedeutungen wie vor. Mit den folgenden Bezeichnungen Entfernung der Achse i zur vordersten Achse [m] Spurweite [m] Abstand des Aufstandspunktes des Rades i vom Reibungsmittelpunkt M [m] Winkel zwischen Laufwerksachse und dem Richtstrahl q _i Entfernung des Reibungsmittelpunktes M von der ersten Achse [m] gelten die nachfolgenden Gleichungen: Die genaue Position x des Reibungsmittelpunktes hängt von der Stellung des Laufwerkes in der Spur, wie sie im Vogel-Plan ermittelt wurde, ab. Die Lage des Reibungsmittelpunktes M ist bekannt, wenn durch den Vogel-Plan „Spießgang“ festgestellt wurde. Dann halbiert der Reibungsmittelpunkt den Abstand der Laufwerksachse zwischen den Schnittpunkten mit derselben (inneren oder äußeren) Schiene. Das Ergebnis ist „x“, der gesuchte Abstand zwischen der ersten Achse und dem Reibungsmittelpunkt M (Abb. .  1.37)

Die M-Linie wird an dieser Position geschnitten (Punkt Mʺ) und eine Tangente im Schnittpunkt angelegt: Diese schneidet die Vertikale über Achse 1 im Punkt E. Man verbindet diesen Punkt mit dem Fußpunkt 3 (in Abb. .  1.6 ist ein 3-achsiges Laufwerk gewählt) Der von den beiden Strahlen eingeschlossene Winkel bei E gibt die am führenden Spurkranz wirkende Kraft an. Ebenso erhält man die am inneren Spurkranz der Achse 3 wirkende Kraft durch den Winkel bei 3. Die Winkel stellen die Kräfte dar, weil das Moment M (Ordinate) durch eine Distanz x dividiert wird. Die vertikale Ordinate (Summe von q _i) ist gleich M/(2μQ), während x die horizontale Entfernung darstellt. Division der vertikalen Entfernung (Moment) durch die horizontale Entfernung und Multiplikation mit 2·μ·Q ergibt die gesuchten Richtkräfte P ₁ und P ₃ (Abb. .  1.38).

Wenn die Lage des Reibungsmittelpunktes unbekannt ist, da die hintere Achse die innere Schiene nicht berührt oder von dieser abläuft, dann liegt „Freilauf“ vor. Für diesen Fall gab Heumann das „Minimum-Verfahren“ an. Es besagt:

Bei Freilauf liegt der Reibungsmittelpunkt so, dass die Richtkraft P ₁ am führenden Rad ein Minimum wird.

Bei Freilauf liegt der Reibungsmittelpunkt so, dass die Richtkraft P ₁ am führenden Rad ein Minimum wird. In diesem Falle wird der Reibungsmittelpunkt M wie folgt gefunden (Abb. .  1.39): Vom Fußpunkt der Achse 1 wird eine Tangente an die M/2μQ-Linie gezogen. Der Berührungspunkt B gibt die Lage des Reibungsmittelpunktes an. Die auf den Spurkranz des führenden Rades wirkende Richtkraft ergibt sich wieder aus der Division des Momentes BM durch den Abstand x und Multiplikation mit 2 μQ.

Damit hat man über die Situation Klarheit erhalten und kann die Einflüsse von Achsanordnung Bogenradius freiem Seitenspiel (Spurweite minus Radsatzabmessungen) Reibungsverhältnissen verfolgen. Abschließend sollen noch die wirkenden Kräfte klargestellt werden. Grundsätzlich müssen die Spurkranzkräfte P den Reibungskräften μ·Q das Gleichgewicht halten. An den Rädern ohne Spurkranzanlauf kann die Reibungskraft μ·Q aufgeteilt werden in Längsschlupfkräfte + -μ·Q·sinξ , was zu einem nach außen nicht wirksamen Torsions-Moment in den Achsen führt („Blindmoment“), und Querschlupfkräfte + - μ·Q·cosξ zwischen Rädern und Schienen. An den Rädern mit Spurkranzanlauf wirken die Richtkraft P und die Reibungskraft μ·Q·cosξ gegeneinander, d. h. in entgegengesetzter Richtung. Werden Bogenlaufkräfte mit Messradsätzen gemessen, so können diese beiden Kräfte nicht unterschieden werden, da nur deren Summe Y registriert werden kann. Es gilt: Es sollen die Bogenlaufkräfte eines angenommenen Fahrzeuges ermittelt werden, welches vorlaufend ein 3-achsiges Drehgestell mit größeren Achsabständen, nachlaufend ein 2-achsiges Drehgestell mit geringem Achsstand aufweist. Die Abmessungen sind in Abb. .  1.40 ersichtlich. Dieses Fahrzeug habe Radlasten von 70kN und soll einen Gleisbogen mit R = 250 m und einem Spurspiel von 10 mm durchfahren. Der Reibungskoeffizient betrage 0,3. Welche (mittleren) Bogenlaufkräfte treten auf?

Achsen 1,2,3– „Spießgang“ aus Vogel-Plan, daher halbiert der Reibungsmittelpunkt den Sehnenabschnitt, der durch die Laufwerks-Längsachse gebildet wird. Tangente an Momenten-Linie, Schlusslinie von E nach Fußpunkt P ₃. Die Richtkräfte P entsprechen den eingeschlossenen Winkeln (wie in Abb. .  1.40 eingezeichnet). Es ergeben sich folgende Führungskräfte: Positive Führungskräfte drücken das Rad nach bogeninnen, negative nach bogenaußen. Man beachte die entgegengesetzten Vorzeichen bei den Rädern der ersten und dritten Achse, die sich im Gleis als Spreizkräfte bemerkbar machen. Der Vogel-Plan zeigt auch, dass der mittleren Achse des dreiachsigen Drehgestells eine freie Seitenverschieblichkeit von (zumindest) 8 mm gegeben werden muss, um ein zwängungsfreies Durchfahren des Bogens sicherzustellen. Die Achse 2 trägt dann nur zur Vergrößerung des zu überwindenden Reibungsmomentes bei. Dies gilt, solange sie nicht an die Außenschiene anläuft. In diesem Falle werden die von ihr verursachten seitlichen Kräfte direkt auf die Schiene abgetragen. Die Achse 2 trägt dann nur mehr über die längs gerichteten Komponenten zum gesamten Reibungsmoment bei. (Hier nicht dargestellt) Als weitere Untersuchung wird eine seitlich auf den Drehpunkt D ₁ wirkende Kraft W ₁ angenommen. Sie hat die gleiche Richtung wie P ₃, was am gleichen Richtungssinn des Auftrags von der Schlusslinie weg erkannt wird, und verändert die Führungskräfte wie folgt: P ₁ wird vergrößert, P ₃ wird verringert. Die Stellung des Laufwerks in der Spur verändert sich bei der angenommen Kraft W ₁ (noch) nicht. Achsen 4,5– „Freilauf“ aus Vogel-Plan, Reibungsmittelpunkt ergibt sich durch Anlegen einer Tangente an die Momentenkurve entsprechend dem Minimumverfahren. Es ergeben sich folgende Führungskräfte: Wie oben wird zusätzlich die Wirkung einer seitlich auf den Drehpunkt D ₂ nach bogenaußen wirkenden Kraft untersucht. Diese verändert die Fahrzeugstellung (M ₂ʹ wird zu M ₂ʺ) und vergrößert die Richtkraft P ₄. Der Vogel-Plan zeigt, dass die Verdrehung des nachlaufenden Laufwerkes gegen die Fahrzeug-Achse deutlich größer ist als jene des vorlaufenden Laufwerkes. Für die Ermittlung der tatsächlichen Verdrehungswerte sind die unterschiedlichen Maßstäbe für Längs- und Querrichtung zu beachten. Dies gilt im Übrigen für alle Abmessungen, die aus dem Vogel-Plan entnommen werden. Die Heumann-Methode zur Ermittlung der Bogenlaufkräfte wird im Vorstehenden nur mit ihren wesentlichen Aussagen dargestellt. Sie wurde in den Jahren 1920 bis 1940 mit vielen Details entwickelt und diente als Handwerkszeug für die Entwicklung der damals modernsten Dampf- und Elektrolokomotiven. Sie wurde auf die Behandlung von Seitenkräften durch Wind oder unausgeglichene Beschleunigung, Reibmomenten in der Verbindung von Drehgestellen und Wagenkasten, Zug- und Bremskräften sowie unterschiedlichen Kopplungs- und Rückstellmechanismen ausgedehnt. Mit dem Erscheinen der modernen Rechenprogramme, wie Medyna, Simpack, Nucars, schien sich der Wert der Heumann-Methode zu verringern. Doch gerade diese einfache Vorgangsweise ist ein hervorragendes Mittel, Rechenergebnisse zu interpretieren und zu verstehen. Dafür sollten stets die Voraussetzungen der Heumann-Methode im Auge behalten werden, insbesondere jene der konstanten, schlupf-unabhängigen Reibung und der zylindrischen Räder. Die Kalker-Gleichungen und die experimentellen Untersuchungen von Johnson und Frederich zeigen die Abhängigkeit der Reibungskräfte von den auftretenden Längs-, Quer- und Bohrschlupfen. Dennoch ist die Heumann-Methode für die Überprüfung von Plausibilitäten sehr gut geeignet. Für einen Bogen mit R = 150 m kann ein μ = 0,35 angesetzt werden. Da die Kraftschluss-Koeffizienten bei größeren Radien ihre Sättigung in der Regel nicht erreichen, ist eine Abminderung des (fiktiven) Reibungsbeiwertes bei größeren Radien angebracht. Dafür wurde folgende Formel vorgeschlagen: Anmerkung In den vorstehenden Ausführungen werden alle Kräfte als „auf das Laufwerk wirkend“ angesetzt, entsprechend der „Kraftwirkung gegen die Bewegungsrichtung der Radaufstandspunkte“, die als Teil des Laufwerkes verstanden werden.Von der Gleisseite her betrachtet sind sowohl die Bewegungen wie auch die Kräfte in der Orientierung umgekehrt. Dies erklärt z. B. warum Metallverschiebungen an der Schienenoberseite in Richtung zur Bogenmitte hin beobachtet werden. Während an der Außenschiene das nach innen verdrückte Material durch die Spurkränze abgetragen wird, tritt dieser Effekt an der bogeninneren Seite der Innenschiene gelegentlich sehr deutlich in Erscheinung („Pilz-Bildung“).