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2020 | Buch

Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Die verlorene Neufassung des XI. Supplements zu Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie

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Über dieses Buch

Dieses Buch stellt anhand des Nachlasses von Richard Dedekind eine Rekonstruktion des überarbeiteten XI. Supplements zur geplanten 5. Auflage von P. G. Lejeune Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie mit einem Kommentar von Peter Ullrich zur Verfügung.

Die von Dedekind herausgegebenen und erweiterten "Vorlesungen über Zahlentheorie" seines Lehrers Dirichlet und vor allem die umfangreichen angefügten Supplemente gelten als eines der Hauptwerke Dedekinds. Für die Geschichte der modernen Algebra ist das XI. Supplement "Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen" von besonderem Interesse, da es die Begründung der Idealtheorie darstellt. Dedekind bereitete zu Beginn des 20. Jahrhunderts eine 5. Auflage der Vorlesungen von Dirichlet mit überarbeiteten Supplementen vor, die aber nicht mehr veröffentlicht wurde.

Die Autorin dieses Bandes hat die Transkriptionsarbeiten und Editierung aus dem Dedekind Nachlass vorgenommen und ein einführendes Kapitel hinzugefügt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Prolog

Frontmatter
Kapitel 1. Einführung

Bedenkt man, welche Umgestaltungen andere Theile der Mathematik, z. B. die Theorie der elliptischen Functionen, seit ihren ersten Anfängen im Laufe der Zeit erlitten haben, so wird man es für sehr wahrscheinlich halten, dass auch für die Idealtheorie noch einfachere Grundlagen, als die bisher bekannten, aufgefunden werden. Als eine solche Grundlage kann z. B. der von mir aus der Idealtheorie abgeleitete Satz (S. 465, 541, 577 der zweiten dritten, vierten Auflage dieses Werkes) über den grössten gemeinsamen Theiler von zwei beliebigen ganzen algebraischen Zahlen angesehen werden, und ich habe schon vor vielen Jahren versucht, diesen Weg einzuschlagen; hierbei ist es mir zwar nicht gelungen, eine wesentliche Vereinfachung zu erzielen, weil ich den unmittelbaren Beweis dieses Satzes doch nur mit denselben Hülfsmitteln führen konnte, welche im Wesentlichen auch meiner Theorie der Ideale zu Grunde liegen; [...].

Katrin Scheel
Kapitel 2. Dedekinds letzte Überarbeitung des Supplements XI. „Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen“ (Peter Ullrich)

Algebraische Zahlentheorie im Sinne von „höherer Arithmetik“ für Zahlen, die allgemeiner sind als die üblichen ganzen, wurde bereits von Carl Friedrich Gauß (1777–1855) eingeführt und dann, unter anderem, von Ernst Eduard Kummer (1810–1893) weiterentwickelt. Richard Dedekinds (1831–1916) Supplement XI. „Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen“ kann also nicht beanspruchen, der erste Beitrag zu dieser Teildisziplin der Mathematik zu sein, es ist aber derjenige Text, in dem die algebraische Zahlentheorie zum ersten Mal in moderner, auch heute noch aktueller Weise dargestellt wird, insbesondere mit der Ersetzung bzw. Konkretisierung der von Kummer eingeführten „idealen Zahlen“ durch das Dedekindsche Konzept der „Ideale“.

Katrin Scheel

Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Frontmatter
Kapitel 3. Theorie der complexen ganzen Zahlen von Gauss. (§ 159.)

Der Begriff der ganzen Zahl hat in diesem Jahrhundert eine Erweiterung erfahren, durch welche der Zahlentheorie wesentlich neue Bahnen eröffnet sind; den ersten und wichtigsten Schritt auf diesem Gebiet hat Gauss gethan, und wir wollen zunächst die Theorie der von ihm eingeführten ganzen compexen Zahlen wenigstens in ihren wichtigsten Grundzügen darstellen, weil hierdurch das Verständniss der später folgenden Untersuchungen über die allgemeinsten ganzen algebraischen Zahlen gewiss erleichert wird.

Katrin Scheel
Kapitel 4. Zahlenkörper (§ 160.)

Um dieses Ziel zu erreichen, müssen wir uns vor Allem mit den wichtigsten Grundlagen der heutigen Algebra beschäftigen, was in den nächsten Paragraphen (bis §. 167) geschehen soll.

Katrin Scheel
Kapitel 5. Permutationen eines Körpers (§ 161.)

Es geschieht in der Mathematik und in anderen Wissenschaften sehr häufig, dass, wenn ein System A von Dingen oder Elementen a vorliegt, jedes bestimmte Element a nach einem gewissen Gesetze durch ein bestimmtes, ihm entsprechendes Element $$a'$$ ersetzt wird (welches in A enthalten sein kann oder auch nicht); ein solches Gesetz pflegt man eine Substitution zu nennen, und man sagt, dass durch diese Substitution das Element a in das Element $$a'$$ , und ebenso das System A in das System $$A'$$ der Elemente $$a'$$ übergeht.

Katrin Scheel
Kapitel 6. Resultanten von Permutationen (§ 162.)

Die Zusammensetzung (Composition) von Körper-Permutationen, zu der wir jetzt übergehen, bildet nur einen speciellen Fall der Zusammensetzung von Abbildungen beliebiger Elementen-Systeme A. Geht jedes Element a eines Systems A durch eine Abbildung $$\varphi $$ in ein Bild $$a\varphi $$ über, und ist $$\psi $$ eine Abbildung des Systems $$A\varphi $$ aller dieser Elemente $$a\varphi $$ , die hierbei in entsprechende Bilder $$(a\varphi )\psi $$ übergehen, so kann man eine neue Abbildung $$\varphi _1$$ des ersten Systems A dadurch definieren, dass man $$a\varphi _1=(a\varphi )\psi $$ setzt.

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Kapitel 7. Multipla und Divisoren von Permutationen (§ 163.)

Ausser der eben beschriebenen Zusammensetzung benachbarter Permutationen haben wir nun noch die ebenso wichtigen Beziehungen zu betrachten, welche zwischen den Permutationen eines Körpers und denen seiner Divisoren stattfinden. Ist der Körper A ein Divisor des Körpers M, und $$\pi $$ eine Permutation des letzteren, so ist in ihr immer eine vollständig bestimmte Abbildung $$\varphi $$ von A enthalten, welche darin besteht, dass für jede in A, also auch in M enthaltene Zahl a das Bild $$a\varphi =a\pi $$ ist, und es leuchtet aus den Grundgesetzen in §. 161 unmittelbar ein, dass diese Abbildung $$\varphi $$ eine Permutation von A ist; wir wollen sie den auf A bezüglichen Divisor von $$\pi $$ , und umgekehrt $$\pi $$ ein Multiplum von $$\varphi $$ nennen. Da $$\varphi $$ (wie eben bemerkt) eine Permutation von A ist, so ist $$A\varphi =A\pi $$ ein Körper (zufolge S. 458) und zwar Divisor von $$M\pi $$ .

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Kapitel 8. Irreducibele Systeme. Endliche Körper (§ 164.)

Für die genaue Untersuchung der Verwandtschaft zwischen den verschiedenen Körpern – und hierin besteht der eigentlich Gegenstand der heutigen Algebra – bildet der folgende Begriff die allgemeinste und zugleich einfachste Grundlage:

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Kapitel 9. Permutationen endlicher Körper (§ 165.)

Wir verbinden jetzt die in den vorhergehenden Paragraphen erklärten Begriffe mit einander und nehmen an, der Körper A sei ein Divisor des Körpers M,

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Kapitel 10. Gruppen von Permutationen (§ 166.)

Ein System $$\varPi $$ von n verschiedenen Körper-Permutationen $$\pi $$ heisst eine Gruppe, wenn jede mit jeder zusammensetzbar, und wenn die Resultante immer in $$\varPi $$ enthalten ist.

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Kapitel 11. Spuren, Normen, Discriminanten (§ 167.)

Wir bezeichnen wieder mit $$\varphi $$ die identische Permutation eines Körpers A, mit B einen in Bezug auf A endlichen Körper vom Grade n, mit $$\varPi $$ das System der n verschiedenen Permutationen $$\pi $$ von AB, welche Multipla von $$\varphi $$ sind, und führen folgende Begriffe ein.

Katrin Scheel
Kapitel 12. Moduln (§ 168.)

Wir wenden uns jetzt zu einer anderen allgemeinen Untersuchung, welche eine wichtige Grundlage unserer Zahlentheorie bildet und auch auf andere Theile der Mathematik sich mit Nutzen anwenden lässt. Sie beruht auf dem folgenden einfachen Begriffe

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Kapitel 13. Theilbarkeit der Moduln. Modul-Gruppen. (§ 169.)

Sehr häufig wird, wie dies schon in der vorstehenden Betrachtung geschehen ist, der Fall auftreten, dass alle Zahlen eines Moduls $$\mathfrak {m}$$ auch in einem Modul $$\mathfrak {n}$$ enthalten sind; dann heißt $$\mathfrak {m}$$ theilbar durch $$\mathfrak {n}$$ , oder wir sagen, $$\mathfrak {m}$$ sei ein Vielfaches oder Multiplum von $$\mathfrak {n}$$ , $$\mathfrak {n}$$ sei ein Theiler oder Divisor von $$\mathfrak {m}$$ , oder $$\mathfrak {n}$$ gehe auf in $$\mathfrak {m}$$ . Diese Übertragung der in der rationalen Zahlentheorie (§. 3) für zwei einzelne Zahlen m, n üblichen Ausdrucksweise auf unsere Zahlen-Systeme $$\mathfrak {m}$$ , $$\mathfrak {n}$$ mag auf den ersten Blick Anstoß erregen, weil das Vielfache $$\mathfrak {m}$$ in Wahrheit einen Theil des Theilers $$\mathfrak {n}$$ bildet, doch wird dieselbe in der Folge sich hinreichend rechtfertigen, und sie ist unvermeidlich, wenn das am Schluß von §. 159 gesteckte Ziel durch die hier vorzubereitende Theorie der Ideale erreicht werden soll. Man darf also die beiden Worte Theil und Theiler niemals mit einander verwechseln.

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Kapitel 14. Producte und Quotienten von Moduln. Ordungen (§ 170.)

Während die eben betrachteten Modulbildungen auf dem Begriffe der Theilbarkeit beruhten, gehen wir jetzt zu der hiervon durchaus unabhängigen Multiplication der Moduln über. Sind $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {b}$$ zwei beliebige Moduln, und bedeutet $$\alpha $$ jede Zahl in $$\mathfrak {a}$$ , ebenso $$\beta $$ jede Zahl in $$\mathfrak {b}$$ , so verstehen wir unter dem Producte $$\mathfrak {ab}$$ der Factoren $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {b}$$ den Inbegriff aller Zahlen $$\mu $$ , welche als ein Product $$\alpha \beta $$ oder als Summe von mehreren solchen Producten $$\alpha \beta $$ darstellbar sind. Da auch jede Zahl $$-\alpha $$ in $$\mathfrak {a}$$ enthalten ist, so leuchtet ein, dass jede Differenz von zwei Zahlen $$\mu $$ ebenfalls eine solche Zahl $$\mu $$ , dass also das Product $$\mathfrak {ab}$$ wieder ein Modul ist; aber man darf, wie kaum bemerkt zu werden braucht, das Product $$\mathfrak {ab}$$ nicht mit einem Vielfachen von $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {b}$$ verwechseln.

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Kapitel 15. Congruenzen und Zahlclassen (§ 171.)

Wir gehen nun zu derjenigen Betrachtung über, die uns veranlasst hat, für die hier untersuchten Zahlengebiete den Namen Moduln zu wählen, obgleich derselbe schon in so vielen anderen Bedeutungen gebraucht wird. Wenn $$\mathfrak {m}$$ ein beliebiger Modul ist, so nennen wir zwei Zahlen $$\alpha $$ , $$\beta $$ congruent nach $$\mathfrak {m}$$ , wenn ihre Differenz $$\alpha -\beta $$ in $$\mathfrak {m}$$ enthalten ist, und wir bezeichnen dies durch die Congruenz

Katrin Scheel
Kapitel 16. Endliche Moduln (§ 172.)

Von diesen allgemeinen Sätzen über die Beziehungen zwischen beliebigen Moduln wenden wir uns jetzt zur Betrachtung der besonderen Erscheinungen, welche dann auftreten, wenn diese Moduln zum Theil oder alle endlich sind (§. 168). Da jeder endliche Modul entweder eingliedrig oder nach (nach (5) in §. 169) eine Summe von mehreren eingliedrigen Moduln ist, so gehen wir von dem folgenden Satze aus

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Kapitel 17. Ganze algebraische Zahlen (§ 173.)

Wir nennen, wie schon früher (am Schluss von §. 167) bemerkt ist, eine Zahl $$\omega $$ eine algebraische Zahl schlechthin, wenn die hinreichend weit fortgesetzte Reihe der Potenzen 1, $$\omega $$ , $$\omega ^2\ldots \omega ^{n-1}$$ , $$\omega ^n$$ ein reducibeles System bildet, d. h. wenn $$\omega $$ einer Gleichung von der Form.

Katrin Scheel
Kapitel 18. Theilbarkeit der ganzen Zahlen (§ 174.)

Eine ganze Zahl $$\alpha $$ heisst theilbar durch eine ganze Zahl $$\beta $$ , wenn $$\alpha =\beta \gamma $$ , und $$\gamma $$ ebenfalls eine ganze Zahl ist, und ebenso übertragen wir die anderen Ausdrucksarten, welche in der Theorie der rationalen Zahlen zur Bezeichnung der Theilbarkeit einer Zahl durch eine andere gebräuchlich sind, auf unser Gebiet aller ganzen Zahlen. Zunächst ergeben sich wieder dieselben beiden Elementarsätze.

Katrin Scheel
Kapitel 19. System der ganzen Zahlen eines endlichen Körpers (§ 175.)

Es sei $$\varOmega $$ ein endlicher Körper $$n^{\text {ten}}$$ Grades; derselbe besitzt, wie schon früher (am Schlusse von §. 167) bemerkt ist, n und nur n verschiedene Permutationen $$\pi _1$$ , $$\pi _2\ldots \pi _n$$ , unter denen sich auch die identische Permutation befindet, und wir wollen, wenn $$\omega $$ irgend eine Zahl in $$\varOmega $$ bedeutet, die conjugirten Zahlen $$\omega \pi _1$$ , $$\omega \pi _2\ldots \omega \pi _n$$ kurz mit $$\omega '$$ , $$\omega ''\ldots \omega ^{(n)}$$ bezeichnen.

Katrin Scheel
Kapitel 20. Zerlegung in unzerlegbare Factoren. Ideale Zahlen (§ 176.)

Das Gebiet $$\mathfrak {o}$$ aller ganzen Zahlen $$\omega $$ , welche in einem Körper $$\varOmega $$ vom Grade n enthalten sind, und mit denen wir uns im Folgenden ausschliesslich beschäftigen, besitzt einige allgemeine Eigenschaften, welche denen der früher behandelten speciellen Gebiete [1] und [1, i] genau entsprechen. Wir wollen diese Analogie zunächst verfolgen, um sodann diejenige wesentlich neue Erscheinung hervorzuheben, welche uns zur Einführung neuer Begriffe nöthigen wird.

Katrin Scheel
Kapitel 21. Ideale. Theilbarkeit und Multiplication (§ 177.)

Das soeben behandelte Beispiel lässt vermuthen, dass die eigenthümlichen Lücken, die bei der Untersuchung über die Theilbarkeit der Zahlen $$\omega $$ innerhalb eines Gebietes $$\mathfrak {o}$$ auftreten und eine gewisse Unvollständigkeit desselben erkennen lassen, dadurch ausgefüllt werden können, dass man statt der einzelnen Zahlen $$\omega $$ in $$\mathfrak {o}$$ ganze Systeme solcher Zahen einführt. Am nächsten liegt, wenn $$\mu $$ eine bestimmte, von Null verschiedene Zahl in $$\mathfrak {o}$$ bedeutet, die Betrachtung des schon im vorigen Paragraphen besprochenen Systems $$\mathfrak {m}=\mathfrak {o}\mu $$ aller durch $$\mu $$ theilbaren Zahlen $$\omega \mu $$ .

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Kapitel 22. Relative Primideale (§ 178.)

Der grösste gemeinsame Theiler $$\mathfrak {a}+\mathfrak {b}$$ und das kleinste gemeinsame Vielfache $$\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$$ von zwei Idealen $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {b}$$ sind ebenfalls Ideale. denn jedenfalls sind die Moduln $$\mathfrak {a}+\mathfrak {b}$$ und $$\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$$ theilbar durch $$\mathfrak {o}$$ , weil dasselbe von $$\mathfrak {a}$$ und $$\mathfrak {b}$$ gilt; da nun $$\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$$ theilbar ist durch $$\mathfrak {a}$$ und $$\mathfrak {b}$$ , so ist $$\mathfrak {o}(\mathfrak {a}-\mathfrak {b})$$ theilbar durch $$\mathfrak {oa}$$ und $$\mathfrak {ob}$$ , d. h. durch $$\mathfrak {a}$$ und $$\mathfrak {b}$$ , also auch durch $$\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$$ ; und da das von Null verschiedene Product $$\mathfrak {ab}$$ (nach §. 177, IV) durch $$\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$$ theilbar ist, so ist $$\mathfrak {a}-\mathfrak {b}$$ auch von Null verschieden und folglich ein Ideal.

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Kapitel 23. Primideale (§ 179.)

Das Ideal $$\mathfrak {o}$$ hat nur einen einzigen Factor $$\mathfrak {o}$$ . Jedes von $$\mathfrak {o}$$ verschiedene Ideal $$\mathfrak {p}$$ besitzt gewiss zwei verschiedene Factoren, nämlich $$\mathfrak {o}$$ und $$\mathfrak {p}$$ , und es soll ein (absolutes) Primideal heissen, wenn es keine anderen Factoren hat. Ein Ideal, welches mehr als zwei verschiedene Factoren besitzt, heisst zusammengesetzt (vergl. §. 8). Aus dieser Erklärung ergeben sich die folgenden Sätze.

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Kapitel 24. Normen der Ideale. Congruenzen (§ 180.)

Nachdem in den §§. 177 bis 179 die Theorie der Theilbarkeit der Ideale und also auch der Zahlen in $$\mathfrak {o}$$ vollständig erledigt ist (vergl. §§. 1 bis 10), wenden wir uns zur Betrachtung der auf Ideale bezüglichen Zahlclassen und Congruenzen von Zahlen in $$\mathfrak {o}$$ . Ist $$\mu $$ von Null verschieden, so ist $$\mathfrak {o}\mu $$ ein Hauptideal, und wir haben schon (in §. 176, II) bewiesen, dass

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Kapitel 25. Idealclassen und deren Composition (§ 181.)

Wir haben gesehen, dass jedes Ideal $$\mathfrak {a}$$ durch Multiplication mit einem geeigneten Ideal $$\mathfrak {m}$$ in ein Hauptideal $$\mathfrak {am}$$ verwandelt werden kann (§. 177, IX), und wollen nun zwei Ideale $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {a}'$$ äquivalent nennen, wenn beide durch Multiplication mit einem und demselben Factor $$\mathfrak {m}$$ in Hauptideale $$\mathfrak {am}=\mathfrak {o}\mu $$ , $$\mathfrak {a}'\mathfrak {m}=\mathfrak {o}\mu '$$ übergehen; dann ist $$\mathfrak {a}\mu '=\mathfrak {a}'\mu $$ , und wenn man die (ganze oder gebrochene) Zahl $$\mu '\mu ^{-1}=\eta $$ setzt, so wird $$\mathfrak {a}'=\mathfrak {a}\eta $$ . Umgekehrt, wenn es eine Zahl $$\eta $$ giebt, welche dieser Bedingung genügt, so sind die Ideale $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {a}'$$ äquivalent, weil dann aus $$\mathfrak {am}=\mathfrak {o}\mu $$ auch $$\mathfrak {a}'\mathfrak {m}=\mathfrak {o}\mu '$$ folgt, wo $$\mu '=\mu \eta $$ gewiss eine ganze Zahl ist. Zugleich ergiebt sich hieraus, dass jeder Factor $$\mathfrak {m}$$ , welcher das eine von zwei äquivalenten Idealen $$\mathfrak {a}$$ , $$\mathfrak {a}'$$ in ein Hauptideal verwandelt, Gleiches auch für das andere Ideal leistet, und dass folglich je zwei Ideale $$\mathfrak {a}'$$ , $$\mathfrak {a}''$$ , die mit einem dritten Ideal $$\mathfrak {a}$$ äquivalent sind, stets auch mit einander äquivalent sein müssen.

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Kapitel 26. Zerlegbare Formen und deren Composition (§ 182.)

Die Theorie der Ideale eines Körpers $$\varOmega $$ hängt unmittelbar zusammen mit der Theorie der zerlegbaren Formen, welche demselben Körper entsprechen; wir beschränken uns hier darauf diesen Zusammenhang in seinen Grundzügen anzudeuten.

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Kapitel 27. Einheiten eines endlichen Körpers (§ 183.)

Von der grössten Wichtigkeit für die Theorie der in einem endlichen Körper $$\varOmega $$ enthaltenen ganzen Zahlen ist die Frage nach dem Inbegriff aller unter ihnen befindlichen Einheiten (§§. 174, 176). Im Körper R der rationalen Zahlen giebt es nur die beiden Einheiten $$\pm 1$$ und dasselbe gilt für alle quadratischen Körper von negativer Grundzahl D, mit Ausnahme der beiden Fälle $$D=-3$$ und $$D=-4$$ , in welchen sechs resp. vier Einheiten vorhanden sind. Bei allen anderen Körpern ist aber die Anzahl der Einheiten stets unendlich gross, und es ist äusserst schwierig gewesen, den Zusammenhang zwischen allen diesen Einheiten genau zu ergründen und in der einfachsten Form darzustellen; für den Fall der quadratischen Körper von positiver Grundzahl D fällt diese Frage im Wesentlichen zusammen mit der Auflösung der Pell’schen Gleichung $$t^2-Du^2=4$$ , und wir haben schon früher bemerkt, dass die Existenz solcher Lösungen t, u, in welchen u nicht verschwindet, zuerst von Lagrange bewiesen ist.

Katrin Scheel
Kapitel 28. Anzahl der Idealclassen (§ 184.)

Der eben bewiesene Satz bildet neben der Theorie der Ideale die wichtigste Grundlage für das tiefere Studium der ganzen Zahlen des Körpers $$\varOmega $$ , und er ist unentbehrlich für die wirkliche Bestimmung der Anzahl der Idealclassen nach Dirichlet’s Principien.

Katrin Scheel
Kapitel 29. Beispiel aus der Kreistheilung (§ 185.)

Um den Nutzen und die Bedeutung unserer bisherigen Untersuchungen erkennen zu lassen, deren Resultate nur die ersten Elemente einer allgemeinen Zahlentheorie bilden, wollen wir dieselben auf zwei bestimmte Beispiele anwenden, die zugleich in unmittelbarem Zusammenhange mit dem Hauptgegenstande dieses Werkes stehen.

Katrin Scheel
Kapitel 30. Quadratische Körper (§ 186.)

Als zweites und letztes Beispiel, auf welches wir unsere allgemeine Idealtheorie anwenden wollen, wählen wir das der quadratischen Körper, weil dasselbe mit dem Hauptgegenstande dieses Werkes, der Theorie der binären quadratischen Formen, im engsten Zusammenhange steht.

Katrin Scheel
Kapitel 31. Moduln in quadratischen Körpern (§ 187.)

Jeder endliche Modul, dessen Zahlen sämmtlich dem quadratischen Körper $$\varOmega $$ angehören, lässt sich (nach §. 172, VI) immer auf eine Basis zurückführen, welche aus höchstens zwei Zahlen besteht, und wir wollen im Folgenden unter einem Modul, falls das Gegentheil nicht ausdrücklich bemerkt wird, immer einen solchen zweigliedrigen Modul

Katrin Scheel
Kapitel 32. „Neues Supplement“

SUB Göttingen, Cod. Ms. R. Dedekind VII 9.

Katrin Scheel

Quellen

Frontmatter
Kapitel 33. Anhänge

Aus dem Archiv der Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen.

Katrin Scheel
Metadaten
Titel
Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen
verfasst von
Dr. Katrin Scheel
Copyright-Jahr
2020
Electronic ISBN
978-3-658-30928-2
Print ISBN
978-3-658-30927-5
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2