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Erschienen in:
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2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

20. Der Hilbert’sche Kritizismus

verfasst von : Ulrich Felgner

Erschienen in: Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit

Verlag: Springer International Publishing

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Zusammenfassung

David Hilbert (1862–1943) war ein exzellenter Mathematiker, der auf vielen Gebieten der Mathematik und der Mathematischen Physik Hervorragendes geleistet hat. Er war auch einer der Wenigen, die über die Grundlagen ihres Faches intensiv nachgedacht haben. Dabei wurde er zum Wegbereiter mancher neuer Entwicklungen.

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Fußnoten
1
Siehe dazu etwa seine Vorlesung ‚Wissen und Mathematisches Denken‘, op. cit., S. 87–90, oder auch den Vortrag ‚Naturerkennen und Logik‘ (1930), Hilberts ‚Gesammelte Abhandlungen‘, Bd. III, S. 378–387, insbesondere S. 383. Siehe aber auch Hilberts Vortrag ‚Über das Unendliche‘ (1925), wo er sich Kant anschließt.
 
2
Emil Du Bois-Reymond behauptete 1872 (publiziert 1881), daß es in den Naturwissenschaften unlösbare Probleme gäbe. Er meinte, daß in Bezug auf die Rätsel, was Materie und was Kraft seien, die Naturforscher „mit männlicher Entsagung“ eingestehen müssten: „Ignoramus et Ignorabimus“ (wir wissen es nicht und werden es nie wissen). Der Ausspruch von du Bois-Reymond ist so populär geworden, daß sogar der Dichter Arno Holz (1863–1929) im Jahre 1912 ein Theaterstück mit dem Titel ‚Ignorabimus‘ schrieb, das von der Unerkennbarkeit okkulter Mächte handelt. Unter den Personen des Dramas findet sich ein gewisser Prof. Dr. Dufroy-Regnier, wobei die Ähnlichkeit mit dem Namen „Du Bois-Reymond“ natürlich nicht zufällig ist.
 
3
Hilbert war mit den Werken Kants wohlvertraut. Er wählte beispielsweise bei einer Disputation (am 11. Oktober 1884), die damals noch zum Promotions-Verfahren in Königsberg dazugehörte, ein Thema aus der Philosophie Kants.
 
4
Den Terminus „Fachwerk von Begriffen“ hat Hilbert von Kant übernommen und von 1894 an häufig verwendet (siehe I. Kant: ‚Anthropologie in pragmatischer Hinsicht‘, in der Akademie-Ausgabe der Werke Kants, Band 7 (Berlin 1907), S. 184).
 
5
Man spricht von „impliziten Definitionen“, weil die (leeren) Zeichen in das Axiomensystem eingeflochten oder „eingefaltet“ sind (plicare (lat.) = falten), und das Axiomensystem insgesamt die Möglichkeiten eingrenzt, diese Zeichen zu interpretieren. Von „impliziten Definitionen“ sprach zuerst Joseph Diez Gergonne (1771–1859). In seinem ‚Essai sur la Théorie des Définitions‘ (Ann. de Math. 9 (1818), S. 1–35) hat er „implizite Definitionen“ mit Gleichungs-Systemen verglichen, in denen die Lösungen die vorgegebenen Gleichungen erfüllen müssen (vergl. aber auch Frege ‚Kleine Schriften‘, op. cit., S. 268 und 287).
 
6
Um nicht Gefahr zu laufen, daß in den Beweisen irgendwelche Wortbedeutungen benutzt werden, die nicht zu den Voraussetzungen gehören, verwendet man heute statt umgangssprachlicher Wörter nur noch Buchstaben oder andere leere, bedeutungslose Zeichen.
 
7
Die Begriffe „Metamathematik“ und „Metageometrie“ tauchten erst im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts in der Literatur auf. Sie wurden im Sinne von „Metaphysik der allgemeinen Räume“ (womit n-dimensionale Räume, nicht-euklidische Räume, etc. gemeint waren) gebraucht. Hermann von Helmholz (1878), Georg Cantor (1884, 1887), Edmund Husserl (1893, siehe Husserliana Band 40 (2009), S. 25), Paul Natorp (1910), Bertrand Russell (1895, 1897), Wilhelm Wundt und andere verwendeten diese Begriffe. Bei Hilbert hat das Wort „Metamathematik“ jedoch eine andere Bedeutung erhalten, die bereits oben angedeutet wurde.
 
Literatur
Bernays, Paul: ‚Thesen und Bemerkungen zu den philosophischen Fragen und zur Situation der logisch-mathematischen Grundlagenforschung‘, Traveaux du IXe Congrès international de Philosophie, Paris 1937, pp. 104–110. Nachdruck in P. Bernays – Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik, Wiss. Buchgesellschaft Darmstadt 1976, pp. 79–84.
Fano, Gino: ‚Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva‘, Giornale di Matematiche 30 (Neapel, 1892), pp. 106–132.
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Ferreiros, José: ‚Hilbert, logicism, and mathematical existence‘, Synthèse 170 (2009), pp. 33–70.
Frege, Gottlob: ‚Wissenschaftlicher Briefwechsel‘, Herausgegeben von G. Gabriel et al., F. Meiner Verlag Verlag Hamburg 1976.
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Hallett, Michael – Majer, U.: ‚David Hilbert’s Lectures on the Foundations of Geometry 1891–1902‘, Berlin 2004.
Hilbert, David: ‚Grundlagen der Geometrie‘, 1899 (10. Auflage, Teubner Verlag, Stuttgart 1968; 14. Auflage: Stuttgart 1999.).
Hilbert, David: ‚Wissen und Mathematisches Denken‘, Vorlesung am Mathematischen Institut Göttingen 1922/1923, ausgearbeitet von Wilhelm Ackermann, Nachdruck 1988.
Hilbert, David: ‚Gesammelte Abhandlungen‘, 3 Bände, Berlin 1932 (Band I), 1933 (Band II) und 1935 (Band III).
Hintikka, Jaakko: ‚Hilbert vindicated?‘, Synthèse 110 (1997), pp. 15–36.
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Moore, Gregory H.: ‚Hilbert and the emergence of modern mathematical logic‘, Theoria (Segunda Época), Band 12 (1997), pp. 65–90.
Pohlers, Wolfram: ‚Proof Theory, The First Step into Impredicativity‘, Springer Verlag Berlin 2009.
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Sieg, Wilfried: ‚Hilbert’s programs: 1917–1922‘, Bulletin of Symbolic Logic 5 (1999), pp. 1–44.
Wiener, Hermann: ‚Ueber Grundlagen und Aufbau der Geometrie‘, Jahresbericht der DMV 1 (1891), pp. 45–48.
Metadaten
Titel
Der Hilbert’sche Kritizismus
verfasst von
Ulrich Felgner
Copyright-Jahr
2020
Buch
Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit

Print ISBN: 978-3-030-35933-1

Electronic ISBN: 978-3-030-35934-8

Copyright-Jahr: 2020

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-030-35934-8_20