6. Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren

Der Spektralsatz beschreibt selbstadjungierte Operatoren in Form eines Integrals bezüglich eines Spektralmaßes. Daher werden in diesem Kapitel zunächst die Begriffe Spektralmaße und Integrale über Spektralmaße diskutiert, bevor der Spektralsatz in verschiedenen Varianten formuliert wird. Mit Hilfe des Spektralmaßes ist es möglich, Funktionen f selbstadjungierter Operatoren T zu definieren. Dabei wird für die Funktion nur die Messbarkeit vorausgesetzt, und man kann den Definitionsbereich von f(T) über eine Integrierbarkeitsbedingung beschreiben. Wir behandeln zunächst Spektralmaße und Integrale bezüglich Spektralmaßen sowie den Spektralsatz und den Funktionalkalkül, welcher es unter anderem erlaubt, zu selbstadjungierten Operatoren T zugehörige unitäre Gruppen zu konstruieren. Der Satz von Stone besagt, dass jede unitäre Gruppe auf diese Weise beschrieben werden kann. Für Familien von Operatoren gilt der Spektralsatz, falls diese Operatoren kompatibel sind, d. h. paarweise kommutieren. Der Spektralsatzwird dabei sowohl für einen als auch für mehrere (kompatible) Operatoren in zwei Varianten formuliert: mit Hilfe des Spektralmaßes und in Multiplikationsoperator-Form.