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2022 | Buch

Diagnostik von besonderen Rechenschwierigkeiten in der Sekundarstufe I

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Über dieses Buch

Obwohl PISA 2018 bei 21% der 14-Jährigen Defizite im basismathematischen Bereich feststellte, ist das Thema Rechenschwäche vorrangig eines der Grundschulforschung. In diesem Buch wird die Entwicklung eines nach IRT konzipierten Gruppentestverfahrens (LeDi-Arithmetik) aufgezeigt, das es Lehrkräften der Sek. I ermöglicht, mangelnde mathematische Basiskompetenzen zu erkennen. Das Testergebnis lässt eine Einordnung in Kompetenzstufen zu, die für potentiell rechenschwache Schüler*innen Ausgangspunkt einer Individualdiagnostik sein kann. Anhand von bisher publizierten Studien zu Fähigkeiten rechenschwacher Lernender sowie Entwicklungsmodellen arithmetischer Kompetenzen wurden spezifische Inhalte identifiziert und zum Teil durch verstehensorientierte Aufgabenformate, wie sie in standardisierten Tests kaum zu finden sind, umgesetzt. Auch wurden Aufgaben zu gebrochenen Zahlen konzipiert, deren Ergebnisse bei unklarer Diagnostik im Bereich der natürlichen Zahlen, herangezogen werden können. Die Analyse von 400 Schülerlösungen zeigt auf, welche Aufgabeninhalte sich zur Diagnostik im Klassenverband eignen, welcher Stellenwert verstehensorientierten Aufgaben zukommt und wie diese unter Einhaltung der Gütekriterien psychometrischer Tests verwendet werden können.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Einleitung
Zusammenfassung
Wissenschaftlich sind die Themen Rechenschwäche oder besondere Rechenschwierigkeiten aufgrund der ICD-10 bzw. -11-Definition vor allem in der Grundschulforschung verankert. Doch auch in der Sekundarstufe I gibt es eine nicht geringe Anzahl von Lernenden mit unzureichenden mathematischen Basisfähigkeiten für deren Diagnostik es kaum geeignete Testverfahren gibt. Die dieser Arbeit zugrundeliegende Forschungsfrage lautet deshalb „Welche mathematischen Aufgabeninhalte eignen sich, um Schülerinnen und Schüler mit besonderen Schwierigkeiten im Rechnen im Klassenverband durch die Lehrkraft zu diagnostizieren und wie können diese in einem Testverfahren umgesetzt werden?“ Aufgrund dieser Fragestellung wird sich diese Arbeit theoretisch vor allem mit den Themen Rechenschwäche, für ein Diagnoseverfahren notwendige Inhalte und Aufgabenformate beschäftigen, bevor im Praxisteil geeignete Items vorgestellt und deren empirische Überprüfung erläutert wird.
Susanne Dögnitz
Kapitel 2. Rechenschwäche, Dyskalkulie und besondere Schwierigkeiten im Rechnen
Zusammenfassung
Das Thema Rechenschwäche oder Dyskalkulie wird aus unterschiedlichen Forschungsrichtungen betrachtet, die diese Begriffe verschieden definieren und unterschiedliche Ebenen des mathematischen Lernprozesses fokussieren. Die Neuropsychologie betrachtet hierbei besonders die im Gehirn ablaufenden Prozesse, die Kognitionspsychologie hingegen das Arbeitsgedächtnis und die Intelligenz. Die Mathematikdidaktik und die Entwicklungspsychologie beschäftigen sich vor allem mit Hürden im mathematischen Basisstoff und damit, welche schulstrukturellen und unterrichtlichen Faktoren den Erwerb grundlegender mathematischer Kompetenzen behindern oder ermöglichen können. Aufgrund der Zielsetzung dieser Arbeit wird eine entwicklungspsychologisch-mathematikdidaktische Forschungsrichtung eingenommen und in Abgrenzung zur Definition der ICD-10 und -11 Rechenschwäche als ungenügende mathematische Basiskompetenzen verstanden, die den Kompetenzerwerb in der Sekundarstufe I stark behindern. Die Erkenntnisse zur Entstehung von besonderen Rechenschwierigkeiten werden in Kausalmodellen gebündelt und zeigen, dass affektive und kognitive Faktoren auf Ebene des Kindes eine Rolle spielen, wie bspw. das Selbstkonzept oder das Arbeitsgedächtnis, aber auch soziale und familiäre sowie schulische Komponenten zur Ausbildung einer Dyskalkulie beitragen.
Susanne Dögnitz
Kapitel 3. Mathematische Kompetenzentwicklung bis zum Ende der Grundschulzeit
Zusammenfassung
Anhand von Modellen zur Entwicklung mathematischer Fähigkeiten, insbesondere dem von Fritz, Ehlert und Balzer (2018) sowie empirischer Studien kann gezeigt werden, dass das Verständnis des Stellenwertsystems, des Teil-Teil-Ganzes-Konzepts, der Multiplikation und der Division sowie die Fähigkeit zum Sachrechnen die Grundpfeiler der arithmetischen Kompetenzentwicklung der Grundschulzeit und der Sekundarstufe I bilden. Eine genauere Auseinandersetzung mit diesen Themen macht deutlich, dass die verschiedenen Teilkompetenzen durch unterschiedliche mathematische Anforderungen gelernt und erkannt werden. So zeigt sich das Stellenwertverständnis darin, Zahlen in verschiedenen Repräsentationsformen darstellen und umwandeln zu können, diese zu ordnen, zu bündeln und zu entbündeln sowie Zahlbeziehungen zu erkennen. Das Operationsverständnis der Grundrechenarten wird zum einen durch die Fähigkeit sichtbar, elaborierte Rechenstrategien zu verwenden, zum anderen darin Rechenoperationen in verschiedene Darstellungsformen umwandeln zu können. Zu einer dieser Darstellungsformen gehören Sachsituationen, wie sie in Textaufgaben zu finden sind. Empirische Studien zu den Fähigkeiten von Lernenden der Sekundarstufe I zeigen allerdings, dass besonders das Operationsverständnis der Punktrechenarten sowie des Teil-Teil-Ganzes-Konzepts nicht vollständig entwickelt sind.
Susanne Dögnitz
Kapitel 4. Defizite und Kompetenzen von rechenschwachen Lernenden der Sekundarstufe I im Bereich der natürlichen Zahlen
Zusammenfassung
Eine entscheidende Frage bei der Suche nach geeigneten Inhalten zur Diagnostik von Rechenschwäche ist, wie sich die Fähigkeiten von rechenschwachen Lernenden von denen unauffälliger Schülerinnen und Schüler unterscheiden. Die bisher veröffentlichten empirischen Studien deuten darauf hin, dass rechenschwache Lernende meist ein gutes Stellenwertverständnis im Zahlenraum bis 1000 erworben haben, jedoch darüber hinaus Defizite aufweisen, die mit ansteigendem Zahlenraum immer größer werden. Außerdem zeigen sie meist gute Vorstellungen zu den Operationen der Addition und Subtraktion, aber große Defizite im TTG. Dies erschwert die Nutzung effektiver Rechenstrategien, wodurch sehr häufig schriftlich gerechnet wird. Im Gegensatz zur Addition und Subtraktion werden die Punktrechenoperationen kaum verstanden, sondern es findet vor allem ein rezeptartiger Umgang mit diesen statt. Dabei bildet besonders die Division einen Cut-off-Punkt. Zwar können häufig Aufgaben aus dem kleinen Einmaleins gelöst werden, doch bereits die Umkehrung (Einsdurcheins) gelingt meist nicht. Aufgaben, die darüber hinaus gehen, können nicht mehr korrekt bearbeitet werden, das Lösen von Stufenaufgaben ist auch aufgrund mangelnden Stellenwertverständnisses meist nicht machbar. Deutlich werden die Defizite auch beim Lösen von Sachaufgaben, wobei inkonsistente Formulierungen, mehrschrittige Lösungsprozesse und irrelevante Informationen die Schwierigkeit deutlich erhöhen. Aufgrund dieser Erkenntnisse kann die in Abschnitt 2.2.3 aufgeführte Definition inhaltlich erweitert werden.
Susanne Dögnitz
Kapitel 5. Arithmetische Kompetenzen bezüglich der Bruchrechnung und mögliche Probleme von Schülerinnen und Schülern mit besonderen Schwierigkeiten im Rechnen
Es scheint sinnvoll, dass ein Testverfahren zur Diagnostik von Rechenschwäche eine Zusatzskala zu gebrochenen Zahlen enthält, die herangezogen werden kann, wenn im Testteil zu den natürlichen Zahlen keine eindeutige Diagnose gestellt werden kann. Zur Konzeption dieser Zusatzskala wird der Bereich der gebrochenen Zahlen inhaltlich und empirisch genauer analysiert. Dabei wird deutlich, dass bereits unauffällige Schülerinnen und Schüler große Probleme beim Arbeiten mit gebrochenen Zahlen zeigen, da Grundvorstellungen hierzu meist nicht umfassend ausgebildet sind und Aufgaben deshalb oft algorithmisch und nicht verständnisbasiert gelöst werden. Rechenschwache Schülerinnen und Schüler lösen Aufgaben zur Bruchrechnung ausschließlich über syntaktisch-algorithmisches Wissen, scheitern jedoch auch bei einfachen Aufgaben sehr oft, da sie die einzelnen Schritte der Verfahren nicht verstehen. Nach den wenigen Studienergebnissen zur Dezimalzahlrechnung kann festgestellt werden, dass im Umgang mit diesen besonders das Komma als neuer Bezugspunkt große Schwierigkeiten bereitet, was zu einer Dominanz der Komma-trennt- und der kein-Komma-Strategie führt. Für die Diagnostik von besonderen Schwierigkeiten im Rechnen bedeuten diese Ergebnisse, dass es nicht sinnvoll ist, schwerpunktmäßig Aufgaben zu Grundvorstellungen von Brüchen zu stellen, da Schülerinnen und Schüler ohne Defizite in basismathematischen Fähigkeiten diese ebenso häufig nicht tragfähig ausgebildet haben. Stattdessen müssen vermehrt die Fertigkeiten abgefragt werden, bei denen unauffällige Lernende im Gegensatz zu rechenschwachen Schülerinnen und Schülern z. T. hohe Lösungsquoten verzeichneten, was bei gemeinen Brüchen vor allem die Addition und Subtraktion ungleichnamiger gemeiner Brüche, Kürzen und Erweitern sowie Größenvergleiche sind.
Susanne Dögnitz
Kapitel 6. Diagnostik in Schule und Unterricht
Zusammenfassung
Ein Testverfahren zur Diagnostik von Rechenschwäche muss vier aus dem Konstruktionsprozess psychometrischer Tests ableitbaren Kriterien genügen. Zu erst muss das theoretische Verständnis von Rechenschwäche/Dyskalkulie offengelegt werden. Zweitens muss das Verfahren zentrale mathematische Inhalte abbilden. Zum dritten muss das Diagnosekriterium gut begründet sein und viertens die Gütekriterien psychometrischer Tests erfüllen. Anhand dieser Kriterien werden die bisher veröffentlichten Testverfahren zur Diagnostik von Rechenschwäche vergleichend vorgestellt und diskutiert. Dabei wird deutlich, dass einige Tests besonders hinsichtlich der Inhaltsvalidität sowie der Begründung des Diagnosekriteriums Schwächen zeigen. Es wird weiterhin deutlcih, dass es bisher kein Gruppentestverfahren gibt, was anhand der mathematischen Kompetenzen und nicht der sozialen Norm diagnostiziert und zum anderen, dass Grundvorstellungen und Rechenstrategien, die als essenzielle Inhalte für eine Diagnostik identifiziert wurden, kaum in den bisher veröffentlichten Diagnoseverfahren zu finden sind. Deshalb wird im Weiteren aufgezeigt, welche Möglichkeiten der Aufgabenkonstruktion für verstehensorientierte Aufgaben aus der Mathematikdidaktik bekannt sind und welche Potenziale, aber auch welche Probleme die Verwendung solcher Aufgabenformate für die Diagnostik mathematischer Fähigkeiten aufweisen.
Susanne Dögnitz
Kapitel 7. Zusammenfassung: Ziele und Anforderungen an das zu entwickelnde Testverfahren LeDi-Arithmetik
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden alle bisher erlangten Erkenntnisse gebündelt, in dem noch einmal die zugrunde gelegte Definition, die identifizierten notwendigen Inhalte zur Aufgabengestaltung sowie erweiterte Kriterien, die das diagnostische Verfahren zum Erkennen von Rechenschwäche und dessen Aufgaben erfüllen muss, noch einmal überblicksartig dargestellt werden.
Susanne Dögnitz
Kapitel 8. Die Aufgaben des LeDi-Arithmetik
Zusammenfassung
Auf Basis von theoretischen Überlegungen und empirischer Studien wurden insgesamt 93 Aufgaben aus den Bereichen der natürlichen Zahlen, der gebrochenen und der ganzen Zahlen erstellt, deren Entwicklung in diesem Kapitel dargestellt wird. Die Taxonomien Blooms und Krathwohls sowie die Vorstellung der verschiedenen verstehensorientierten Aufgabenformate machen deutlich, dass ein einziger mathematischer Inhalt durch unterschiedlichste Aufgaben repräsentiert werden kann. So wird in diesem Abschnitt aufgezeigt, warum bei der Konstruktion der Diagnoseaufgaben ein bestimmtes Aufgabenformat gewählt wurde und wie es zur Auswahl des Zahlenmaterials kam. Dabei wurden zu einem Inhalt z. T. mehrere Aufgaben entwickelt, um anschließend die am besten geeignetste zu identifizieren. Des Weiteren werden alle Aufgaben zu den natürlichen Zahlen Kompetenzstufen basierend auf dem Modellen Humbachs und der Bildungsstandards zugeordnet, um die Komplexität der Aufgaben theoretisch zu ermitteln.
Susanne Dögnitz
Kapitel 9. Fragestellungen und Design der empirischen Überprüfung der Aufgaben
Zusammenfassung
Auf der Grundlage der sieben Kriterien für ein Diagnoseverfahren für Rechenschwäche werden neun Forschungsfragen bezüglich der quantitativen und qualitativen Analyse formuliert, um die Qualität der 93 zuvor entwickelten Aufgaben zu ermitteln. Die Überprüfung erfolgt anhand von 399 Schüler:innenlösungen und auf Grundlage der Rasch-Modellierung, für deren Anwendung die Aufgaben bestimmte Kriterien erfüllen müssen. Zusätzlich wurde als Vergleichsinstrument das Testverfahren BADYS 8+ verwendet, welches das einzige ist, das in der achten Klasse als Gruppentest eingesetzt werden kann, auch wenn es testtheoretisch einige Problembereiche aufweist.
Susanne Dögnitz
Kapitel 10. Ergebnisse der empirischen Aufgabenüberprüfung
Zusammenfassung
Insgesamt konnten von den 107 konzipierten Aufgaben 48 im Bereich der natürlichen Zahlen sowie 22 Aufgaben aus dem der gebrochenen Zahlen als geeignet zur Diagnostik mathematischer Basiskompetenzen im unteren Leistungsbereich ermittelt werden. Items zum Transcodieren und zum Rechnen im Zahlenraum bis 1000 sowie einzelne Textaufgaben konnten als sehr einfach eingestuft werden, da Schülerinnen und Schüler mit niedrigen Personenfähigkeitsparametern diese Aufgaben mit einer hohen Wahrscheinlichkeit lösten. Hingegen wiesen Aufgaben zum Ergänzen von Zahlenreihen, zum Entbündeln, zum TTG im Zahlenraum ab 1000, zur Multiplikation und zur Division besonders geeignete Schwierigkeitsparameter auf. Die Bedeutung dieser Themenbereiche für eine Diagnose für Rechenschwäche kann als wesentliches Resultat dieser Arbeit gewertet werden. Auf der anderen Seite zeigt sich, dass der LeDi-Arithmetik nur wenige Aufgaben enthält, die von der Risikogruppe (also von den Lernenden, die in der Studie als vermeintlich rechenschwach angesehen werden) in der Regel nicht gelöst wurden. Dabei handelte es sich vor allem um verstehensorientierte Aufgaben, denen damit eine doppelte Diagnoserolle zukommt: Zum einen differenzieren sie zwischen rechenschwachen und unauffälligen Lernenden, zum anderen ermöglichen sie einen tieferen Einblick in die Vorstellungen und Misskonzepte, der für eine anschließende Förderung wichtig ist. Die Bedeutung, die verstehensorientierten Aufgaben innerhalb standardisierter Testverfahren zukommen kann, ist ebenfalls als eine der Haupterkenntnisse dieser Arbeit zu deuten. Bezüglich der Aufgaben zu den gebrochenen Zahlen stellten sich besonders die zum Rechnen mit Dezimalzahlen als besonders geeignet heraus. Hingegen wurde deutlich, dass den Schülerinnen und Schülern das Darstellen von Brüchen sowie das Kürzen eher leicht fällt. Damit unterscheiden diese Aufgaben gut zwischen den Schüler:innen innerhalb der unteren Leistungsgruppe, sind aber zur Diskrimination zwischen den Lernenden mit guten und weniger guten Fertigkeiten in diesem Bereich nicht so gut geeignet. Sehr einfache Aufgaben, die von fast allen Schülerinnen und Schülern mit hohen Wahrscheinlichkeiten gelöst werden könnten, wie das bei den natürlichen Zahlen der Fall ist, gibt es im Testteil der gebrochenen Zahlen nicht. Im Gegensatz zum Zahlenbereich der gebrochenen Zahlen wird deutlich, dass die empirischen Ergebnisse zu den ganzen Zahlen nicht ausreichend sind, um zu einer Diagnostik besonderer Schwierigkeiten im Rechnen herangezogen zu werden. Die aufgrund theoretischer Modelle erstellten Aufgaben erwiesen sich als zu einfach und damit nicht aussagekräftig genug, da es Schülerinnen und Schülern der Risikogruppe im Allgemeinen gut gelang Zahlen auf der Zahlengerade ein zutragen und positive und negative Zahlen miteinander zu vergleichen.
Susanne Dögnitz
Kapitel 11. Fazit und Ausblick
Zusammenfassung
Mit dem LeDi-Arithmetik ist ein Diagnoseinstrument entstanden mit dessen Hilfe es Lehrkräften der achten Klasse möglich wird, Schülerinnen und Schüler mit ungenügenden mathematischen Basisfähigkeiten durch die Einordnung der Leistungen in Kompetenzstufen zu erkennen. Bei der Konstruktion des Testverfahrens wurde sehr viel Wert auf die Sicherstellung der Validität, im Besonderen der Inhaltsvalidität gelegt, da der Test auf Grundlage ausführlichster Literaturrecherchen, der Verwendung von Studienergebnissen und (im Fall der gebrochenen Zahlen) auf eigenen Erhebungen beruht, wo empirische Ergebnisse rar sind. Die Kriteriumsvalidität ist durch hohe Korrelationen zwischen den Ergebnissen des Testteils zu natürlichen Zahlen mit den Vergleichskriterien Lehrerurteil (welches durch einen zusätzlichen Fragebogen erhoben wurde), die letzte Zeugnis-Mathematiknote und das Ergebnis des BADYS 8+ sichergestellt und auch die Konstruktvalidität konnte durch Faktorenanalysen für die verschiedenen Skalen bestätigt werden. Die Reliabilitäten der Testteile können mit einem Cronbachs α von 0,89 in den Testteilen 1 und 2 sowie 0,90 in Testteil 3 als gut oder sogar sehr gut bewertet werden. So zeigt die bisherige Auswertung, dass das Testverfahren LeDi-Arithmetik ein aus testtheoretischer Sicht geeignetes Instrument zur Diagnose zu sein scheint. Durch die Reduktion der Items konnte die Durchführungs- und Auswertungszeit verkürzt werden, wobei erstere in zwei Schulstunden gut umsetzbar ist und letztere (hat man schon einige Diagnosebögen korrigiert) ca. sieben Minuten pro Diagnosebogen umfasst, wenn keine genauere Ergebnisanalyse notwendig ist. Das Testverfahren LeDi-Arithmetik hebt sich im Vergleich zu bisher erschienenen Verfahren vor allem durch die reichhaltigere Verwendung verstehensorientierter Aufgaben ab, die neben der Diskrimination den Vorteil hat, dass konkrete Vorstellungen und Fehlkonzepte aufgedeckt und wichtige Hinweise für eine Förderung geliefert werden können – nicht nur für rechenschwache Schülerinnen und Schüler – und das ohne große Schwierigkeiten bei der Sicherstellung der Auswertungsobjektivität. So konnte das Zusammenfügen von Erkenntnissen aus der Psychologie und der Fachdidaktik hier gewinnbringend genutzt werden und sollte zudem für die Gewinnung weiterer Forschungsergebnisse zu den Fähigkeiten und Defiziten von Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe I im Bereich der natürlichen Zahlen, aber auch für spezifische Inhalte der fünften bis zehnten Klasse eingesetzt werden, da die Anzahl an Studienresultaten im Gegensatz zur Grundschulzeit eher gering ist. Denn diese Arbeit bestätigt einmal mehr, worauf bereits andere Autor:innen hinweisen: Schülerinnen und Schüler mit besonderen Schwierigkeiten im Rechnen sind in der Sekundarstufe I durchaus keine kleine Randgruppe und bedürfen mehr Aufmerksamkeit von Seiten der Forschung, der universitären Lehre und eben auch von Seiten der Lehrkräfte, für die diese Arbeit und vor allem der LeDi-Arithmetik hoffentlich ein Stück weit sorgen kann.
Susanne Dögnitz
Backmatter
Metadaten
Titel
Diagnostik von besonderen Rechenschwierigkeiten in der Sekundarstufe I
verfasst von
Susanne Dögnitz
Copyright-Jahr
2022
Electronic ISBN
978-3-658-40071-2
Print ISBN
978-3-658-40070-5
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-40071-2

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