Didaktik der Analysis
Grundvorstellungen zu zentralen Begriffen
- 2026
- Buch
- Verfasst von
- Gilbert Greefrath
- Reinhard Oldenburg
- Hans-Stefan Siller
- Volker Ulm
- Hans-Georg Weigand
- Verlag
- Springer Berlin Heidelberg
Über dieses Buch
Dieses Buch bietet eine umfassende Darstellung der Didaktik der Analysis unter Berücksichtigung der aktuellen didaktischen Diskussion, theoretischer Konzepte, praktischer Unterrichtserfahrungen und der Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz. Es unterstützt Studierende, Referendarinnen und Referendare sowie Lehrkräfte, die das Gebiet angemessen – kompetenzorientiert – unterrichten möchten. Dazu gibt es Orientierung über die allgemeinbildende Bedeutung der Analysis und beleuchtet die zentralen Begriffe Funktion, Folge, Reihe, Grenzwert, Ableitung und Integral. Für diese, insbesondere für den Analysisunterricht der gymnasialen Oberstufe zentralen Begriffe, werden Grundvorstellungen herausgearbeitet sowie typische unterrichtliche Zugänge vorgestellt. Es werden Möglichkeiten aufgezeigt, mit digitalen Mathematikwerkzeugen das Lehren und Lernen im Analysisunterricht zu unterstützen. Übungsaufgaben geben Impulse für selbstständiges Anwenden und Vertiefen der Inhalte.
Für die 2. Auflage wurden alle Kapitel grundlegend überarbeitet und erweitert. Insbesondere wurden unterrichtspraktische Zugänge zu zentralen Begriffen der Analysis und deren Anwendungen durch die Einbeziehung aktueller Schulbuchliteratur und -aufgaben gestärkt, digitale Ressourcen aktualisiert und ergänzt sowie weitere, vertiefende Materialien von den Autoren online bereitgestellt.
Anzeige
Inhaltsverzeichnis
-
Frontmatter
-
1. Warum Analysis in der Sekundarstufe?
Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg WeigandDer Fachbeitrag untersucht die Bedeutung und Ziele des Analysisunterrichts in der Sekundarstufe. Es werden die KMK-Standards für die Sekundarstufe I und II diskutiert, die als Grundlage für den Analysisunterricht dienen. Der Beitrag beleuchtet verschiedene Gesichtspunkte, darunter pragmatische, kulturelle, erkenntnistheoretische und kognitive Aspekte, die die Ziele und Inhalte des Analysisunterrichts beeinflussen. Ein zentraler Fokus liegt auf der Bedeutung von Grundvorstellungen im Mathematikunterricht und deren Rolle bei der Begriffsbildung. Zudem wird die Integration digitaler Medien und künstlicher Intelligenz in den Analysisunterricht thematisiert, wobei die Vorteile und Herausforderungen dieser Technologien diskutiert werden. Der Beitrag schließt mit einer Diskussion über die Zukunft des Analysisunterrichts und mögliche Alternativen, wie die Einführung von Elementarer Zahlentheorie anstelle von Analysis. Die Kernaussagen des Beitrags sind, dass der Analysisunterricht in der Sekundarstufe eine wichtige Rolle spielt und dass die Integration digitaler Medien und künstlicher Intelligenz neue Möglichkeiten und Herausforderungen bietet.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
ZusammenfassungIn diesem Kapitel werden Ziele des Analysisunterrichts dargestellt und Beziehungen zu den Standards und Kompetenzen im Sinne der KMK-Bildungsstandards aufgezeigt. Neben dem Entwickeln eines grundlegenden Begriffsverständnisses werden verschiedene Ziele unter pragmatischen, kulturellen, erkenntnistheoretischen, kognitiv-konstruktiven, sprachlich-kommunikativen, schöpferisch-kreativen und mathematisch-deduktiven Gesichtspunkten herausgestellt. Dies erfolgt in enger Beziehung zur Entwicklung von Grundvorstellungen mathematischer Begriffe, welche hier zusammenfassend in allgemeiner Form und insbesondere in ihrer Beziehung zum „Concept Image“ erläutert werden. Dann werden digitale Medien hinsichtlich ihrer Arten und Funktionen klassifiziert, wobei vor allem der Werkzeugcharakter dieser Medien im Analysisunterricht wichtig ist, und es werden Überlegungen angestellt, in welcher Weise Künstliche Intelligenz zukünftig den Analysisunterricht beeinflussen oder gar verändern könnte. Schließlich wird noch der Frage nachgegangen, ob der Mathematikunterricht auch ohne Analysis denkbar ist. -
2. Folgen, Grenzwerte und Reihen
Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg WeigandDas Kapitel untersucht die historischen Entwicklungen und didaktischen Ansätze der Begriffe Folge, Grenzwert und Reihe in der Mathematik. Es beginnt mit einem historischen Abriss, der die Wechselbeziehungen zwischen diesen Begriffen in der Entwicklungsgeschichte der Mathematik aufzeigt. Anschließend werden Grundvorstellungen zum Folgenbegriff und deren Bedeutung für die Entwicklung des Folgenbegriffs in der Sekundarstufe I aufgezeigt. Das Kapitel diskutiert auch die aktuelle Sichtweise des Folgen- und Grenzwertbegriffs in den KMK-Bildungsstandards und die Entwicklung des Grenzwertbegriffs im Mathematikunterricht. Es werden verschiedene Zugänge zum Grenzwertbegriff, einschließlich intuitiver und propädeutischer Ansätze, sowie die Rolle digitaler Mathematikwerkzeuge bei der Vermittlung dieser Konzepte behandelt. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion über die Bedeutung des Folgenbegriffs für das Verständnis des Ableitungs- und Integralbegriffs und die Rolle von Folgen in der Sekundarstufe I. Durch die Integration von Beispielen und Visualisierungen wird das Verständnis der Konzepte erleichtert und ein tieferes Verständnis der Analysis gefördert.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
ZusammenfassungDieses Kapitel behandelt die Wechselbeziehungen zwischen dem Folgen-, Grenzwert- und Unendlichkeitsbegriff und zeigt darauf aufbauend einen Zugang zum Begriff der endlichen und unendlichen Reihe auf. Ausgehend von der Entwicklungsgeschichte der Mathematik wird die Bedeutung dieser Begriffe im gesamten Mathematikunterricht dargestellt. Dazu werden insbesondere Grundvorstellungen von Folgen-, Grenzwert- und Reihenbegriff erläutert und es werden Möglichkeiten dargestellt, wie diese im Mathematikunterricht entwickelt werden können – auch mit Hilfe digitaler Medien. Darüber hinaus werden unterrichtliche Zugänge zum Folgen-, Grenzwert- und Reihenbegriff durch zahlreiche unterrichtspraktische Beispiele für die Sekundarstufe I und II aufgezeigt. -
3. Funktionen
Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg WeigandDas Kapitel behandelt die historische Entwicklung des Funktionsbegriffs, von den frühen Vorstellungen bei Newton und Leibniz bis hin zu den modernen Definitionen. Es wird aufgezeigt, wie Schülerinnen und Schüler durch verschiedene Darstellungsformen wie Pfeildiagramme, statistische Diagramme, Graphen im Koordinatensystem, tabellarische Darstellungen und verbale Beschreibungen ein tiefes Verständnis von Funktionen erlangen können. Besonders hervorgehoben werden die Grundvorstellungen von Funktionen als Zuordnung, Kovariation und Objekt, die für ein umfassendes Verständnis essenziell sind. Zudem wird die Bedeutung von Grenzwerten von Funktionen erläutert, wobei sowohl der dynamische als auch der statische Aspekt betrachtet werden. Das Kapitel schließt mit der Diskussion, wie diese Konzepte im Mathematikunterricht vermittelt werden können, um den Lernenden ein fundiertes Verständnis von Funktionen zu vermitteln.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
ZusammenfassungIm Zentrum des Kapitels steht die Frage, wie Schülerinnen und Schüler ausgehend von vielfältigen Phänomenen Grundvorstellungen zu Funktionen bilden und zu einer Definition des Funktionsbegriffs im Mathematikunterricht gelangen können. Es wird deutlich, dass dies eng mit dem Umgang mit Darstellungen von Funktionen verbunden ist. Im Hinblick auf das Unendliche wird aufgezeigt, wie Verständnis für Grenzwerte von Funktionen entwickelt werden kann, wobei ein intuitives Grenzwertverständnis zunehmend präzisiert und abstrahiert wird. Für Funktionen mit Parametern werden insbesondere die grundlegenden Abhängigkeiten zwischen Parametern und Funktionsgraphen herausgearbeitet. Ein Blick auf den Begriff des funktionalen Denkens rundet das Kapitel zusammenfassend ab. -
4. Differenzialrechnung
Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg WeigandDie Differenzialrechnung, ein zentrales Werkzeug in vielen Wissenschaften, wird in diesem Kapitel umfassend beleuchtet. Es beginnt mit einer historischen Entwicklung, die die Beiträge von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz hervorhebt. Die fachlichen Grundlagen werden detailliert erläutert, einschließlich der Definitionen der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten und als lokale lineare Approximation. Der Text diskutiert auch die Bedeutung der Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen sowie die Ableitung von Polynomfunktionen. Ein besonderer Fokus liegt auf den didaktischen Herausforderungen und Ansätzen, die Differenzialrechnung verständlich zu vermitteln. Der Autor betont die Bedeutung von Grundvorstellungen wie der Tangentensteigung und der lokalen Änderungsrate für das Verständnis der Ableitung. Zudem werden Ableitungsregeln wie die Faktor- und Summenregel behandelt, die für die Berechnung von Ableitungen essenziell sind. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion darüber, wie diese Konzepte im Unterricht effektiv vermittelt werden können, um ein tiefes Verständnis bei den Lernenden zu fördern.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
ZusammenfassungDas Kapitel nimmt seinen Ausgang bei der geschichtlichen Entwicklung und einer Klärung des Begriffs der Ableitung. Darauf aufbauend werden vier grundlegende Vorstellungen eingeführt: die lokale Änderungsrate, die Tangentensteigung, die lokale Linearität und der Verstärkungsfaktor kleiner Änderungen. Diese Ideen werden näher erläutert und in ihren Zusammenhängen betrachtet. Ziel ist es, eine verständnisorientierte Heranführung an die Differenzialrechnung zu fördern. Im Unterricht zeigt sich dies in Zugängen und Aktivitäten, die Schülerinnen und Schüler beim Aufbau dieser Grundvorstellungen unterstützen. Anschließend richtet sich der Blick auf die Untersuchung von Funktionen und deren Graphen. Dabei wird deutlich, welche zentrale Rolle diese Analysen für Optimierungsaufgaben, Problemstellungen und die Modellbildung mit den Mitteln der Analysis spielen. -
5. Integralrechnung
Gilbert Greefrath, Reinhard Oldenburg, Hans-Stefan Siller, Volker Ulm, Hans-Georg WeigandDie Integralrechnung hat eine lange und faszinierende Geschichte, die bis in die Antike zurückreicht. Der Beitrag beginnt mit einer detaillierten historischen Entwicklung der Integralrechnung, von den frühen Ansätzen in der Antike bis hin zu den modernen Definitionen und Anwendungen. Besonders hervorgehoben werden die Beiträge von Archimedes, Kepler und Leibniz, die die Grundlagen für die heutige Integralrechnung gelegt haben. Der Text diskutiert auch die fachlichen Aspekte des Integralbegriffs, einschließlich der Definition als Produktsumme, Stammfunktion und Maß. Diese Aspekte werden durch verschiedene Grundvorstellungen ergänzt, wie die Flächeninhaltsvorstellung, die Rekonstruktionsvorstellung und die Kumulationsvorstellung. Der Beitrag zeigt, wie diese verschiedenen Perspektiven zusammenkommen, um ein umfassendes Verständnis des Integralbegriffs zu vermitteln. Abschließend werden mögliche unterrichtliche Zugänge zum Integralbegriff betrachtet, die sowohl historische als auch moderne Ansätze integrieren. Der Text bietet einen detaillierten Überblick über die Entwicklung und Anwendung der Integralrechnung und zeigt, wie diese mathematische Disziplin sowohl in der Theorie als auch in der Praxis von großer Bedeutung ist.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
ZusammenfassungDas Kapitel behandelt die historische, fachliche und didaktische Entwicklung des Integralbegriffs und seine Einführung in den Mathematikunterricht. Ausgangspunkt ist die historische Genese des Integrals von den antiken Methoden der Flächen- und Volumenbestimmung über Archimedes, Cavalieri und Newton bis hin zur formalen Fundierung durch Cauchy, Riemann und Lebesgue. Darauf aufbauend wird die schulische Rezeption nachgezeichnet – von den Richtlinien der Meraner Reform und den preußischen Lehrplänen von 1925 über die bildungspolitischen Entwicklungen im 20. Jahrhundert bis zu den aktuellen Bildungsstandards der KMK. Fachlich wird der Integralbegriff als Grenzwert von Summen, als Stammfunktion und als Maß geklärt. Diese Aspekte werden mit zentralen Grundvorstellungen – Flächeninhalt, Rekonstruktion, Mittelwert und Kumulation – verknüpft. Darüber hinaus werden vorbereitende Inhalte der Sekundarstufe I (Flächen- und Volumenberechnungen) sowie unterschiedliche Zugänge und Visualisierungen für den Unterricht diskutiert. Das Kapitel zeigt, wie sich fachhistorische, fachliche und didaktische Perspektiven verbinden, um einen verständnisorientierten Zugang zum Integralbegriff in der Sekundarstufe II zu ermöglichen. -
Backmatter
- Titel
- Didaktik der Analysis
- Verfasst von
-
Gilbert Greefrath
Reinhard Oldenburg
Hans-Stefan Siller
Volker Ulm
Hans-Georg Weigand
- Copyright-Jahr
- 2026
- Verlag
- Springer Berlin Heidelberg
- Electronic ISBN
- 978-3-662-72626-6
- Print ISBN
- 978-3-662-72625-9
- DOI
- https://doi.org/10.1007/978-3-662-72626-6
Die PDF-Dateien dieses Buches wurden gemäß dem PDF/UA-1-Standard erstellt, um die Barrierefreiheit zu verbessern. Dazu gehören Bildschirmlesegeräte, beschriebene nicht-textuelle Inhalte (Bilder, Grafiken), Lesezeichen für eine einfache Navigation, tastaturfreundliche Links und Formulare sowie durchsuchbarer und auswählbarer Text. Wir sind uns der Bedeutung von Barrierefreiheit bewusst und freuen uns über Anfragen zur Barrierefreiheit unserer Produkte. Bei Fragen oder Bedarf an Barrierefreiheit kontaktieren Sie uns bitte unter accessibilitysupport@springernature.com.
