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Über dieses Buch

Dieses Buch führt Studierende, Referendare und Lehrkräfte aller Schularten in die didaktischen und methodischen Grundlagen des Geometrieunterrichts der Sekundarstufe I ein und zeigt anhand zahlreicher unterrichtspraktischer Beispiele Möglichkeiten einer problemorientierten Unterrichtsgestaltung auf. Aufbauend auf den Bildungsstandards werden zum einen die wichtigen Aspekte Beweisen und Argumentieren, Konstruieren, Problemlösen sowie Begriffslernen und Begriffslehren behandelt. Zum anderen wird auf die zentralen Themenbereiche des Geometrieunterrichts eingegangen: Figuren und Körper, Flächeninhalt und Volumen, Symmetrie und Kongruenz, Ähnlichkeit und Trigonometrie. Der Einsatz des Computers ist in alle Kapitel integriert, ein Überblick über die Entwicklung zentraler Ideen in der Geometrie und im Geometrieunterricht rundet das Buch ab. In diese Neuauflage sind aktuelle Erweiterungen und Neuansätze integriert, insbesondere auch im Hinblick auf Fortentwicklung digitaler Medien.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Ziele des Geometrieunterrichts

Die Herausarbeitung von Zielen des Geometrieunterrichts hilft, Antworten auf die Frage zu geben, warum Geometrie an allgemeinbildenden Schulen unterrichtet wird. Diese Antworten sind keine einmal zu findenden und dann unumstößlich geltenden Erkenntnisse, sondern werden in einem Diskussionsprozess unterschiedlicher gesellschaftlicher Gruppen ausgebildet und müssen in einer sich ständig verändernden Welt im Hinblick auf ihre Aktualität stets neu diskutiert und überprüft werden (vgl. etwa Heymann 1996). Ziele haben zum einen die Schülerin bzw. den Schüler und die Frage im Blick, welche Kompetenzen beim Einzelnen ausgebildet werden sollen. Zum anderen beziehen sie sich auf die Inhalte und auf die Frage, welche Geometrie in welcher Schulart unterrichtet werden soll. Für eine ausführliche Diskussion der Erwartungen an den Mathematikunterricht vgl. Vollrath (2001), für den Geometrieunterricht Weigand (2014).

Hans-Georg Weigand

2. Beweisen und Argumentieren

Das Beweisen ist eine für die Mathematik typische Tätigkeit. Traditionell spielt es im Geometrieunterricht der Sekundarstufe I eine wichtige Rolle. Allerdings können nicht einfach in der Fachwissenschaft praktizierte (und dort angemessene) Vorgehensweisen für den Unterricht kopiert werden. Vielmehr gilt es, eigenständige und für Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe I sinnvolle Formen zu finden. Deshalb gewinnt in den letzten Jahren auch das Argumentieren an Bedeutung, nicht zuletzt aufgrund der Bildungsstandards, die „mathematisch argumentieren“ als eine allgemeine mathematische Kompetenz einordnen.Das Kapitel charakterisiert die Rolle des Beweisens in der Fachwissenschaft Mathematik und zieht daraus Konsequenzen für den Mathematikunterricht, es rezipiert empirische Befunde zum Beweisen und Argumentieren im Geometrieunterricht und zeigt adäquate Formen des Beweisens und Argumentierens für den Geometrieunterricht der Sekundarstufe I auf.

Gerald Wittmann

3. Konstruieren

Im technischen Bereich bedeutet Konstruieren das Planen, Entwerfen, Berechnen und Bauen von Objekten und Maschinen. Konstruktionen werden von Technikern, Ingenieuren und Architekten angefertigt. Beim Konstruieren in der Geometrie geht es um das Erzeugen, Herstellen oder Zeichnen geometrischer Objekte mit Hilfe von Werkzeugen oder Instrumenten. In diesem Kapitel wird die Bedeutung von Konstruktionen für den Geometrieunterricht unter praktischen, theoretischen und didaktischen Aspekten diskutiert und analysiert.

Matthias Ludwig, Hans-Georg Weigand

4. Problemlösen

Inner- und außermathematische Probleme spielen in der Fachwissenschaft Mathematik seit je her eine wichtige Rolle und erweisen sich immer wieder als eine treibende Kraft für ihre (Weiter-)Entwicklung. Auch in der Mathematikdidaktik hat das Problemlösen als Forschungsfeld eine lange Tradition, und die aktuellen Bildungsstandards ordnen „Probleme mathematisch lösen“ als eine allgemeine mathematische Kompetenz ein. Daneben steht die Problemorientierung als eine aktuelle Leitidee für den Mathematikunterricht. Das Kapitel stellt verschiedene Aspekte des Problemlösens im Geometrieunterricht dar, beschreibt für die Geometrie typische Problemlösestrategien und zeigt an Beispielen auf, welche Rolle das Problemlösen heute im Geometrieunterricht einnehmen sollte und wie Schülerinnen und Schüler an das Problemlösen herangeführt werden können.

Gerald Wittmann

5. Begriffslernen und Begriffslehren

Das Lernen eines geometrischen Begriffs ist ein Prozess, der zum Verstehen des Begriffs führen soll. Hierzu gilt es, angemessene Vorstellungen über den Begriff aufzubauen, Kenntnisse zu erwerben und Fähigkeiten anzueignen. Das Lehren von Begriffen besteht aus Maßnahmen, die Lernen in Gang setzen und steuern. Hier lassen sich kurz‑, mittel‐ und langfristige Strategien des Lehrens geometrischer Begriffe unterscheiden.Das Kapitel ist durch diese unterschiedlichen Sichtweisen auf den Unterrichtsprozess gekennzeichnet. Zum einen betont das Lehren von Begriffen und das Entwickeln von Strategien die Sichtweise der Lehrenden auf den zu planenden Unterricht, zum anderen wird durch das Lernen von Begriffen der Unterrichtsprozess stärker von der Seite der Schülerinnen und Schüler aus betrachtet, es rückt die Frage nach dem Verstehen von Begriffen in den Vordergrund. Beide Sichtweisen sind in enger Wechselbeziehung zueinander zu sehen.

Hans-Georg Weigand

6. Ebene Figuren und Körper

Dieses Kapitel bezieht sich auf zentrale Aspekte der Leitidee Raum und Form der aktuellen Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss in Deutschland (KMK 2004, S. 9 ff.). Ausgehend von den beiden Begriffen Raum und Form lässt sich die Leitidee wie folgt charakterisieren: Raum kann sowohl für den dreidimensionalen Raum (Anschauungsraum, Lebenswelt) als auch für den zweidimensionalen Raum (Zeichenebene) stehen. Die Schülerinnen und Schüler sollen Raumerfahrungen sammeln und benennen können sowie ein räumliches Vorstellungsvermögen entwickeln.Form bezieht sich auf ebene Figuren und Körper sowie ihre Eigenschaften und Lagebeziehungen. Die Schülerinnen und Schüler sollen sie erkunden und beschreiben sowie zwei‐ und dreidimensionale Grundformen kennen und mit ihnen arbeiten können.Beide Aspekte sind eng miteinander verknüpft und werden deshalb in diesem Kapitel angesprochen: Die Erkundung ebener Figuren und Körper zielt nicht nur auf den Erwerb der entsprechenden Begriffe, sondern stellt zugleich ein wichtiges Übungsfeld für das räumliche Vorstellungsvermögen dar, und umgekehrt kann die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens auch anhand von ebenen Figuren und Körpern geschehen. Einen wichtigen Beitrag hierzu kann die Kopfgeometrie leisten.

Jürgen Roth, Gerald Wittmann

7. Flächeninhalt und Volumen

Flächeninhalt und Rauminhalt bzw. Volumen bezeichnen Eigenschaften von Figuren bzw. Körpern, die diesen durch Aktivitäten des Messens zugeordnet werden können. Das Messen ist daher Ausgangspunkt und Grundlage dieses Kapitels, denn auch das Berechnen von Flächen‐ und Rauminhalten ist letztlich eine Methode des Messens. Dieses Kapitel ist nach Ideen gegliedert, die beim Umgang mit Flächeninhalten und Volumina – und damit natürlich auch beim Lernen in diesem Bereich – eine Rolle spielen. Da es beim Messen von Flächen‐ und Rauminhalten in besonderer Weise um Umwelterfahrung und ‐erschließung geht, besteht ein Ziel des Kapitels auch darin, Anregungen für eine kompetenzorientierte Aufgabenkultur zum Modellieren im Bereich der Leitidee Messen zu geben.

Sebastian Kuntze

8. Symmetrie und Kongruenz

Die Erkundung ebener Figuren und Körper im Geometrieunterricht der Sekundarstufe I zielt nicht nur auf den Erwerb der entsprechenden Begriffe, sondern stellt zugleich ein wichtiges Übungsfeld für das räumliche Vorstellungsvermögen dar. Umgekehrt kann die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens auch anhand von ebenen Figuren und Körpern geschehen.In diesem Kapitel wird, ausgehend von typischen Schwierigkeiten von Schülerinnen und Schülern, die (Weiter-)Entwicklung der Figurenbegriffe im Geometrieunterricht der Sekundarstufe I beschrieben. Von besonderer Bedeutung sind hierbei das Verständnis der Dreiecks- und Vierecksgrundformen sowie ihrer Beziehungen untereinander (wie das Haus der Vierecke). Im Zuge der Behandlung der Körper wird auch auf das räumliche Vorstellungsvermögen sowie auf die Kopfgeometrie als einen wesentlichen Ansatz zu seiner Entwicklung eingegangen.

Barbara Schmidt-Thieme, Hans-Georg Weigand

9. Ähnlichkeit

Die Ähnlichkeitsgeometrie erkundet Eigenschaften von Figuren, welche in den vorhandenen Winkeln und einander entsprechenden Längenverhältnissen übereinstimmen. Beispielsweise sind zwei Dreiecke ähnlich, wenn sie in ihren Innenwinkeln übereinstimmen. Dieselbe Aussage wäre bei Vierecken im Allgemeinen falsch, wie schon das Beispiel des Rechtecks zeigt. Dagegen sind alle Kreise einander ähnlich, da $$ \frac{\text{U}}{\text{d}}=\uppi $$Ud=π gilt. Die Ähnlichkeitsgeometrie umfasst in diesem Sinne die Kongruenzgeometrie (Kap. 8) und kennt wie diese zwei unterschiedliche Zugänge:

Reinhard Hölzl

10. Trigonometrie

Die Behandlung der Trigonometrie kann in mancherlei Hinsicht als Abschluss und vielleicht auch als „Krönung“ des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe I angesehen werden. Es bestehen hierbei Berührungspunkte besonders vieler Leitideen (Raum und Form, Messen, Funktionaler Zusammenhang sowie natürlich auch Zahl), und es ergeben sich vielfältige Möglichkeiten des Anwendens, Modellierens und Vernetzens. Einige für Schülerinnen und Schüler noch offene Fragen (wie die nach dem Zusammenhang zwischen Anstieg und Neigungswinkel, die bei der Behandlung der linearen Funktionen oft aufgeworfen wird) können nun geklärt werden.

Andreas Filler

11. Geometrie und Geometrieunterricht

In diesem Kapitel werden Aspekte der historischen Entwicklung der Geometrie und des Geometrieunterrichts herausgestellt, die für das Verständnis der heutigen Sichtweise des Geometrieunterrichts wichtig oder zumindest hilfreich sind. Diese Aspekte betreffen die Entwicklung der Grundlagen der Geometrie, die axiomatische Darstellung sowie deren Auswirkungen auf den Geometrieunterricht.Die Kenntnis grundlegender Entwicklungslinien der Geometrie sehen wir für Studierende und Lehrende als wichtig und notwendig an, da im Unterricht – im Sinne des genetischen Prinzips – deutlich werden soll, vor welchem philosophischen und fachwissenschaftlichen Hintergrund und in welchen Problemzusammenhängen geometrische Begriffe und Verfahren entstanden sind. Kenntnisse über die historische Entwicklung des Geometrieunterrichts halten wir für hilfreich, um aktuelle Entwicklungen richtig einschätzen und beurteilen sowie im Hinblick auf die Zukunft weiterdenken und ‐entwickeln zu können.Im Folgenden geht es nicht um eine Darstellung der Geschichte der Geometrie oder des Geometrieunterrichts, sondern um das Aufzeigen von Entwicklungen von Vorstellungen über geometrische Begriffe und deren Wandel im Verlauf der langen Geschichte der Geometrie. Diese Darstellung soll Lehrenden helfen, die auch heute noch wichtigen und von Schülerinnen und Schülern immer wieder gestellten Fragen nach dem Sinn oder dem Wesen geometrischer Begriffe und Verfahren auch unter einem historisch‐genetischen Blickwinkel beantworten zu können.

Hans-Georg Weigand

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