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Erschienen in:
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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

6. Die Black-Scholes-Formel

verfasst von : Dennis Heitmann, Thomas Skill, Christian Weiß

Erschienen in: Finanzmathematik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

In diesem abschließenden Kapitel findet unsere Darstellung der Theorie der Finanzmärkte ihren Höhepunkt: Die berühmte Black-Scholes- Formel ist eines der Hauptresultate in der Geschichte der Finanzmathematik und wird von einigen sogar als eines der bedeutendsten Erkenntnisse der Mathematik überhaupt gefeiert, siehe zum Beispiel [Ste13]. Sie ermöglicht eine konsistente, theoretisch einsichtig begründete Bewertung von europäischen Optionen.

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Fußnoten
1
Die reine Optimierung nach dem Erwartungswert ist vom EV-Investor in Abschn. 4.​2 abzugrenzen.
 
2
Die Schreibweise \({\mathop {=}\limits ^{!}}\) bedeutet, dass die linke Seite gleich der rechten Seite sein soll.
 
3
Falls \(p_*<p\) heißt der Investorrisikoavers und falls \(p_*>p\) risikoaffin, vergleiche auch Abschn. 4.​5.
 
4
Der Begriff des fairen Werts wurde bereits in Abschn. 2.​3 sowie Definition 3.​2 thematisiert.
 
5
Für den Begriff der Messbarkeit siehe Definition 7.​1.
 
6
Vor nicht allzu wenigen Jahren hätten fast alle Ökonomen der Aussage zugestimmt, dass negative Zinsen keinen Sinn ergeben, weil niemand dazu bereit wäre, dafür zu bezahlen, Geld zu verleihen. Deswegen sollte man mit derartigen Aussagen sehr vorsichtig sein und kritisch hinterfragen, ob nicht doch Situationen denkbar sind, wo die Aussage falsch ist. Die Autoren dieses Buches sehen allerdings keinen Grund, der ernstlich gegen diese Annahme spricht.
 
7
Benannt nach dem Mathematiker Norbert Wiener (1894–1964) und nicht nach der österreichischen Hauptstadt.
 
8
Interessanterweise ist neben W(t) auch \(W(t)^2-t\) ein Martingal und die geometrische Brownsche Bewegung kann sogar über diese beiden Martingaleigenschaften definiert werden.
 
9
Die Notation wird im Anhang in Beispiel 7.​7 erklärt.
 
10
Wegen \(\text {Var}[a\cdot X] = a^2\cdot \text {Var}[X]\), siehe Abschn. 7.​1.
 
12
Hierzu wird abermals das sogenannte Itô-Lemma benötigt, das ein zentrales Resultat aus der Theorie der stochastischen Analysis ist. Eine detaillierte Herleitung von (6.13) findet sich zum Beispiel in [Hul11].
 
13
Genau genommen ist der Preis keiner der ursprünglichen Nobelpreise, sondern es handelt sich um den sogenannten Preis der Schwedischen Reichsbank in Wirtschaftswissenschaft zur Erinnerung an Alfred Nobel.
 
Metadaten
Titel
Die Black-Scholes-Formel
verfasst von
Dennis Heitmann
Thomas Skill
Christian Weiß
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Finanzmathematik

Print ISBN: 978-3-662-64651-9

Electronic ISBN: 978-3-662-64652-6

Copyright-Jahr: 2022

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64652-6_6