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2023 | Buch

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Die eindimensionale Wellengleichung

Mathematische Aspekte im Überblick

verfasst von: Walter Strampp

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : essentials

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Die Wellengleichung besitzt vielseitige Anwendungen und reichhaltige Facetten. Diese müssen jedoch oft mühsam zusammengetragen werden. Mathematische Aspekte der Wellengleichung werden deshalb in diesem essential in einer Gesamtschau geschildert. Sämtliche mit der Wellengleichung verbundenen Anfangs- und Randwertprobleme werden einbezogen. Klassische Lösungsmethoden mitsamt ihren Querverbindungen werden vorgestellt. Die Methode der charakteristischen Parallelogramme wird durch den Einsatz der Diffenzengleichungen erweitert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Anfangs- und Randwertprobleme

Zusammenfassung

Die Wellengleichung lebt auf einer Orts-Zeit-Ebene. Man kann beim Ort die unbeschränkte Achse zugrunde legen oder ein beschränktes Intervall. Hinsichtlich der Zeit wird stets die positive Achse genommen. Auf der unbeschränkten Achse stellt man Anfangswertprobleme. Auf einem beschränkten Intervall sind Anfangsrandwertprobleme sachgerecht. Wir besprechen die Eindeutigkeit der Lösung und schildern Facetten und Abstufungen der Problemstellung nebst klassischen Anwendungen.

Walter Strampp

Kapitel 2. Fourierreihen

Zusammenfassung

Die Theorie der Wellengleichung geht von den Fourierreihen aus. Deshalb werden elementare Grundlagen zusammengestellt. Insbesondere die für Randwertprobleme wichtige ungerade Fortsetzung und damit verbundene Sinus-Reihen werden erörtert.

Walter Strampp

Kapitel 3. Separation und Superposition

Zusammenfassung

Beim Problem der schwingenden Saite führt der Produktansatz aus einer Ortsfunktion und einer Zeitfunktion auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen. Der Ortsgleichungen werden die Randbedingungen aufgeprägt. Wir erhalten so Eigenfrequenzen und Eigenschwingungen. Durch Superposition von Eigenschwingungen wird man den Anfangswerten gerecht. Daraus ergibt sich unmittelbar die Entwicklung der Lösung in eine Sinus-Reihe.

Walter Strampp

Kapitel 4. Die Methoden von Fourier und d’Alembert

Zusammenfassung

Die Lösung des Anfangsrandwertproblems mit Fourierreihen kann so umgeformt werden, dass keine Reihen mehr vorkommen. Man erhält die Lösung in der Form von d’Alembert als Summe einer vor- und einer rückläufigen Welle. Allerdings gehen die ungeraden Fortsetzungen der Anfangsfunktionen ein. Dies erfordert umfangreiche Fallunterscheidungen bei der Diskussion des Verlaufs der Lösung.

Walter Strampp

Kapitel 5. Weitere Anwendungen der Methode von Fourier

Zusammenfassung

Mit einer Inhomogenität als Sinus-Reihe kann die Methode von Fourier auf die inhomogene Gleichung erweitert werden. Wir bekommen eine Sinus-Reihe als Lösung und stoßen auf die Formel von Duhamel. Mit einer geeigneten Hilfsfunktion lässt sich dann das Anfangsrandwertproblem für die homogene Gleichung auf die Formel von Duhamel zurückführen. Die Lösung basiert auf der Sinus-Reihe der Hilfsfunktion und erfordert daher eine sorgfältige Ausarbeitung.

Walter Strampp

Kapitel 6. Charakteristiken

Zusammenfassung

Über Charakteristiken und charakteristische Koordinaten kommen wir zur Normalform und der allgemeinen Lösung der Wellengleichung in Gestalt einer Summe aus einer vor- und einer rückläufigen Welle. Wir lösen das Anfangswertproblem auf der unbeschränkten reellen Achse und stoßen auf die Formel von d’Alembert. Die Formel erlaubt Rückschlüsse auf die Anfangswerte, von denen die Lösung in einem Punkt tatsächlich abhängt. Wir diskutieren die Begriffe Abhängigkeits- und Einflussgebiet.

Walter Strampp

Kapitel 7. Das charakteristische Parallelogramm

Zusammenfassung

Eine fundamentale Eigenschaft der Wellengleichung ist ihre Äquivalenz zur charakteristischen Parallelogramm-Relation. Die vier Punkte in der Relation bilden die Ecken eines Parallelogramms, das von Charakteristiken berandet wird. Die Werte einer beliebigen Lösung in den Eckpunkten stehen in einer linearen Beziehung. Mit dieser Beziehung kann man die Wellengleichung, insbesondere das Randwertproblem, algorithmisch lösen. Wenn die Lösung in drei Ecken eines charakteristischen Parallelogramms bekannt ist, dann kann die Lösung in der vierten Ecke berechnet werden.

Walter Strampp

Kapitel 8. Das Prinzip von Duhamel

Zusammenfassung

Wir lösen jetzt die inhomogene Gleichung durch Integration, indem wir sie wie die homogene mittels charakteristischer Koordinaten auf Normalform bringen. Wir bekommen sofort eine partikuläre Lösung durch Integration. Diese Lösung muss nun so ergänzt werden, dass sie homogene Anfangsbedingungen erfüllt. Das ist wieder eine Integrationsaufgabe mit dem Ergebnis des Prinzips von Duhamel. Auch die Eindeutigkeit der Lösung folgt durch Anwendung des Satzes von Green und Integration über charakteristische Dreiecke.

Walter Strampp

Kapitel 9. Differenzengleichungen

Zusammenfassung

Mit dem Randwertproblem der homogenen Gleichung lässt sich eine Differenzengleichung erster Ordnung verbinden. Diese assoziierte Differenzengleichung dient dann der rekursiven Lösung des Randwertproblems. Differenzengleichungen weisen weitgehende Parallelen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen auf. In den Anwendungen kann man oft mit einem geschickten Ansatz zum Ziel kommen. Wir stellen einige wichtige Grundlagen und Hilfsmittel zur Behandlung von Differenzengleichungen bereit.

Walter Strampp

Kapitel 10. Das Randwertproblem

Zusammenfassung

Wir untersuchen die mit der assoziierten Differenzengleichung durch Rekursion hergestellte Lösung des Randwertproblems. An Hand von Beispielen werden die weiteren Möglichkeiten des Einsatzes von Differenzengleichungen demonstriert. Mit analytischen Lösungen gewinnen wir Ansätze für das Randwertproblem bei speziellen Randwerten.

Walter Strampp

Backmatter

Titel: Die eindimensionale Wellengleichung
verfasst von: Walter Strampp
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-66428-5
Print ISBN: 978-3-662-66427-8
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-66428-5

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