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Erschienen in:

2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Die einfache symmetrische Irrfahrt auf $\mathbb{Z}$ – gedächtnisloses Hüpfen auf den ganzen Zahlen

verfasst von : Prof. Dr. Norbert Henze

Erschienen in: Irrfahrten – Faszination der Random Walks

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Dieses Kapitel ist der einfachen symmetrischen Irrfahrt auf den ganzen Zahlen gewidmet. Eine solche Irrfahrt kann als Weg in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Für Irrfahrten gegebener Länge betrachten wir den Zeitpunkt der letzten Nullstelle sowie die Anzahl der Nullstellen, Verweilzeiten oberhalb der x-Achse, das Maximum und das Minimum, die Anzahl und die Lage der Maximalstellen, Vorzeichenwechsel und das Betragsmaximum mit einer Anwendung auf einen Symmetrietest. Bei wachsender Länge ergeben sich viele überraschende Grenzwertsätze wie etwa das Arcus-Sinus-Gesetz für den Zeitpunkt der letzten Nullstelle und die Verweilzeit. Weitere Themen sind Erstwiederkehrzeit und Rekurrenz, Leiterzeitpunkte und Leiterepochen, Schnittpunkte von Irrfahrten sowie Dualität. Das Kapitel schließt mit einem Ausblick auf den Brown-Wiener-Prozess.

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Abraham de Moivre (1667–1754), gilt als bedeutendster Wahrscheinlichkeitstheoretiker vor P.S. Laplace, 1697 Aufnahme in die Royal Society und 1735 in die Berliner Akademie.

Pierre Simon Laplace (1749–1872), Physiker und Mathematiker, Professor an der École Polytechnique in Paris, sein 1812 erschienenes Buch Théorie analytique des probabilités fasste das wahrscheinlichkeitstheoretische Wissen seiner Zeit zusammen.

Jarl Wa1demar Lindeberg (1876–1932), Landwirt und Mathematiker.

Paul Lévy (1886–1971), einer der Hauptbegründer der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie, 1919–1959 Professor an der École Polytechnique in Paris.

Andrej Andrejewitsch Markow (1856–1922), Professor an der Universität St. Petersburg (ab 1893). Markow war politisch progressiv (legte u. a. unter Protest alle Orden und Ehrenzeichen ab, als auf zaristischen Befehl die Wahl Maxim Gorkis zum Mitglied der Akademie abgelehnt wurde); Hauptarbeitsgebiet: Wahrscheinlichkeitstheorie.

William Feller (1906–1970), promovierte 1926 bei R. Courant in Göttingen, 1928 Dozent an der Universität Kiel. Feller floh 1933 vor den Nationalsozialisten aus Deutschland, seit 1944 war er US-amerikanischer Staatsbürger, ab 1950 Professor an der Princeton University. Sein zweibändiges Werk „An Introduction to Probability Theory and Its Applications“ zählt zu den besten mathematischen Lehrbüchern des 20. Jahrhunderts.

Das Spiegelungsprinzip wird gemeinhin dem französischen Mathematiker Désiré André (1840–1918) zugeschrieben. In der dann zitierten Arbeit finden sich jedoch keinerlei geometrische Argumente.

Die vorgestellte Lösung findet sich in einem 1923 erschienenen Artikel von J. Aebly (s. ).

Diese Idee geht auf Edward Nelson (1932–2014) zurück, der von 1964 bis 2013 Professor an der University of Princeton war.

Stefan Banach (1892–1945), ab 1922 Professor in Lwów (ehemals Lemberg), Begründer der sog. „polnischen Schule“ (Banachraum, Banachscher Fixpunktsatz).

Carlo Emilio Bonferroni (1892–1960), Professor für Finanzmathematik in Bari und Florenz. Hauptarbeitsgebiete: Finanzmathematik, Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Analysis.

Alfréd Rényi (1921–1970), ungarischer Mathematiker, ab 1950 Direktor des später nach ihm benannten Instituts für Angewandte Mathematik der Ungarischen Akademie der Wissenschaften. Seit 1952 Professor an der Universität Budapest. Hauptarbeitsgebiete: Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Kombinatorik, Graphentheorie, Analysis.

Waleri Iwanowitsch Glivenko (1897–1940), ab 1928 Professor am Pädagogischen Institut der Universität Moskau. Hauptarbeitsgebiete: Mathematische Logik, Wahrscheinlichkeitstheorie.

Francesco Paolo Cantelli (1875–1966), ab 1903 Versicherungsmathematiker im italienischen Finanzministerium, ab 1925 Professor für Finanz- und Versicherungsmathematik an verschiedenen Universitäten. Hauptarbeitsgebiete: Finanzmathematik und Stochastik.

Robert Brown (1773–1858), schottischer Mediziner und Botaniker. 1810 Fellow der Royal Society und 1822 Fellow sowie 1849 bis 1853 Präsident der Linnean Society.

Norbert Wiener (1894–1964), amerikanischer Mathematiker, Begründer der Kybernetik. Hauptarbeitsgebiete: Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Neurophysiologie.

Monroe David Donsker (1925–1991), amerikanischer Mathematiker, Professor an der New York University. Hauptarbeitsgebiet: Wahrscheinlichkeitstheorie.

Alexander Khintchin (1894–1959), russischer Mathematiker, einer der einflussreichsten Stochastiker der sog. russischen Schule. Hauptarbeitsgebiete: Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, statistische Physik.

Alexandre-Théophile Vandermonde (1735–1796), französischer Mathematiker, Musiker und Chemiker.

Titel: Die einfache symmetrische Irrfahrt auf $\mathbb{Z}$ – gedächtnisloses Hüpfen auf den ganzen Zahlen
verfasst von: Prof. Dr. Norbert Henze
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Buch: Irrfahrten – Faszination der Random Walks
Print ISBN: 978-3-658-45608-5

Electronic ISBN: 978-3-658-45609-2

Copyright-Jahr: 2024
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-45609-2_2