Die Fourier-Transformation in der Signalverarbeitung

Aus den zahlreichen Anwendungen der Fourier-Transformation in der Signalverarbeitung sei zur Einführung ein Beispiel ausgewählt, das einerseits besonders deutlich die tragende Rolle der Fourier-Transformation zeigt und andererseits eine Schilderung der Zusammenhänge unmittelbar aus der Anschauung heraus gestattet: die Bestimmung der Oberflächenstrukturen von Planeten durch Zeit-Frequenz-Analyse von Radarimpulsen.

Der Schliissel zur Beschreibung von Signalen im Frequenzbereich ist die Fourier- Transformation. Grundlegende physikalische und mathematische Unterschiede in den hier interessierenden Signalklassen erfordern zunachst eine individuelle Betrachtung. So lassen sich beispielsweise Signale endlicher Energie spektral durch das Fourier-Integral und periodische Signale durch die Fourier-Reihe beschreiben. Durch die Einbeziehung von Signalen, die als Distributionen darstellbar sind, kann dann der Begriff der Fourier-Transformation verallgemeinert und vereinheitlicht werden. Das hat u.a. den Vorteil, daß die Spektren von Signalen verschiedener Klassen mathematisch miteinander verknüpft werden können. Außerdem läßt sich die Fourier-Transformation dann auch einheitlich symbolisieren: Wir verwenden im folgenden zur Kennzeichnung der Fourier-Transformation sowohl das Symbol ⊶ als auch den Operator F. Für die inverse Fourier-Transformation gelten die entsprechenden Symbole ⊷ und F^-1. Die Aussage u(t) ⊶ U(f) bzw. U(f) = F {u(t)} bedeutet: u(t) und U(f) sind umkehrbar eindeutig durch die Fourier-Transformation miteinander verknüpft. Die Beziehungen U(f) ⊷ u(t) und u(t) =F^-1 {U(f)} folgen dann automatisch.

Die diskrete Fourier-Transformation muß nicht notwendig als Approximation der Fourier-Transformation kontinuierlicher Funktionen angesehen werden. Sie stellt eine völlig eigenständige lineare Transformation dar, die eine Folge von N komplexen Zahlen \(\left\{ {{x_\nu }} \right\} = \left\{ {{x_0},{x_1}, \ldots ,{x_{N - 1}}} \right\}\) vermöge der Beziehung eindeutig umkehrbar auf die Folge \(\left\{ {{y_\mu }} \right\} = \left\{ {{y_0},{y_1}, \ldots ,{y_{N - 1}}} \right\}\) abbildet. Die Transformationskonstante T soll reell und positiv, im übrigen aber beliebig definierbar sein.

Im folgenden werden Prinzipien und Methoden zur numerischen Ausführung der DFT erörtert. Vereinfachend setzen wir in diesem Kapitel die Transformationskonstante T = 1. Die Aufgabenstellung besteht darin, aus N gegebenen (i.a. komplexen) Zahlen x₀,x₁,…,x_N−1 die Zahlen y₀,y₁…,y_N−1 nach der Formel mit möglichst geringem Rechenaufwand zu bestimmen. Hauptkriterium für die Güte eines entsprechenden Algorithmus ist die erforderliche Rechenzeit. Weitere Kriterien sind Speicherplatzbedarf, Einfachheit der Programmstruktur und Akkumulation von Rundungsfehlern.

Im Abschnitt 2.4 wurde die diskrete Faltung als eine mögliche Form der Beschreibung diskontinuierlicher Systeme eingeführt. Ihre numerische Ausführung mittels eines Digitalrechners stellt darüber hinaus ein Verfahren zur Realisierung solcher Systeme dar, das insbesondere bei nichtrekursiven digitalen Filtern, d.h. diskontinuierlichen Systemen mit endlich langer Impulsantwort wegen der dabei erzielbaren Verarbeitungsgeschwindigkeit große Bedeutung besitzt. Andererseits stellt die diskrete Faltung auch eine numerische Approximation des Faltungsintegrals dar und ermöglicht so die Simulation von kontinuierlichen linearen Systemen.

Wie in Abschnitt 2.4.1 dargestellt worden ist, geht man bei der digitalen Signalverarbeitung im allgemeinen davon aus, daß die zu verarbeitenden analogen Signale bandbegrenzt sind und mit hinreichend hoher Frequenz abgetastet werden. Man wird in der Regel auf die Vorteile, die damit verbunden sind, nicht verzichten wollen. Das sind insbesondere die leichte Herstellbarkeit bandbegrenzter Signale durch Filterung, die einfache Beziehung zwischen Signalspektrum und DFT der Abtastwerte und die Erhaltung der Bandbegrenzung bei Faltung und Korrelation. Jedoch gibt es eine Reihe von Anwendungen, wo die Bandbegrenzung mit den bestehenden oder gewünschten Signaleigenschaften unvereinbar ist oder zumindest stort. So zeigt die Shannonsche Interpolationsformel (2.4–5) beispielsweise, daß bandbegrenzte Signale prinzipiell nicht bereichsweise verschwinden und somit auch nicht von endlicher Dauer bzw. kausal sein können. Weiterhin lassen sich Unstetigkeiten in den Signalen oder ihren Ableitungen, wie sie z.B. in Rechteck- oder Dreieckimpulsen auftreten, bei Bandbegrenzung nicht realisieren, denn bandbegrenzte Signale müssen unendlich oft differenzierbar sein, wie ebenfalls aus der Shannonschen Interpolationsformel hervorgeht. Schließlich kann die Voraussetzung einer Bandbegrenzung insbesondere bei Problemen der Entfaltung zu Schwierigkeiten führen (s. Abschnitt 6.5).

Digitale Methoden zur Bestimmung von Leistungsspektren [7.1–7.5] ergänzen bzw. ersetzen in zunehmendem Maße die analoge Meßtechnik. Ihre Vorteile liegen u.a. in der höheren Flexibilität, der Möglichkeit zur Analyse von extrem niederfrequenten Vorgängen, wie sie beispielsweise in der Seismologie, in der Meteorologie und in der biomedizinischen Technik auftreten, sowie auch von Signalen, die von vornherein in digitaler Form vorliegen. Darüber hinaus können im Anschluß an eine digitale Spektralanalyse weitere kompliziertere Verarbeitungsprozesse vorgenommen werden, wie z.B. die Logarithmierung und eine erneute Fourier-Transformation bei der Cepstrum-Analyse und allgemeinere nichtlineare Operationen bei der homomorphen Signalverarbeitung [7.4].