Die Methode der finiten Elemente

Erfahrungsgemäß fällt es dem Berufsanfänger oft schwer, einen Überblick über die fachlichen Zusammenhänge seines Berufsfelds zu gewinnen und die Relevanz von speziellen Methoden einzelner Fachgebiete richtig einzuschätzen. Besonders besteht die Gefahr, daß numerische Näherungsverfahren wie die Methode der finiten Elemente (FEM = Finite-Elemente-Methode), die hinsichtlich ihrer Theorie nicht einfach zu verstehen sind, in ihrer Leistungsfähigkeit und Aussagekraft für die Praxis überschätzt werden. Mit dem Vordringen der Digitalrechner in immer breitere Bereiche des Ingenieurwesens sind häufig Fehleinschätzungen über Zuverlässigkeit und Leistungsgrenzen von Hard- und Softwarekonzepten festzustellen.

In diesem Kapitel wird am Beispiel des Bernoulli-Balkens unter einachsiger Biegung gezeigt, wie man Näherungslösungen für die Zustandsgrößen gewinnen kann. Dabei werden die Grundlagen der technischen Biegelehre als bekannt vorausgesetzt, vgl. Pflüger (1978). Das System des als Demonstrationsbeispiel gewählten beidseitig gelagerten Balkens kann hierbei als ein finites Element angesehen werden, an dem vorgeführt wird, wie man mit den Verfahren von Bubnov/Galerkin und von Ritz zu Näherungslösungen für die statischen Zustandsgrößen kommt und mit welchen Fehlern diese behaftet sind (Bild 2.1). Die Betrachtungen können dann auf die Methode der finiten Elemente übertragen werden, zumal eine Formulierung gewählt wird in der der Übergang zum finiten Balkenelement angelegt ist. Dieser Übergang wird in diesem Kapitel noch nicht vollzogen, um die im Mittelpunkt dieses Abschnitts stehenden Fehlerbetrachtungen nicht zusätzlich zu komplizieren.

In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Methode der finiten Elemente als Deformationsmethode behandelt, am Beispiel des geraden Stabs die Steifigkeitseigenschaften des Stabelements erläutert und in Matrizenschreibweise formuliert. Der Zusammenbau mehrerer Stäbe führt zum Gesamttragwerk, das unter Vorgabe von Belastungen und Lagerbedingungen durch Ermittlung der Verschiebungsgrößen berechnet werden kann.

Im Kap. 3 wurden die elementaren Zusammenhänge für die Methode der finiten Elemente auf der Grundlage klassischer baustatischer Verfahren behandelt. An einigen Stellen konnte die allgemeine Darstellung des Verfahrens nicht weiter vorangetrieben werden, weil dazu die fundamentale Ausgangsbasis der Arbeitsprinzipe der Mechanik besser geeignet ist. So wurden beispielsweise die Behandlung gleichmäßig verteilter Belastungen und die Transformation auf andere Knotenbezugssysteme zurückgestellt. Auch der Zusammenbau von einzelnen Elementen zu einem Gesamtsystem und weiterhin die Berücksichtigung von Auflagerbedingungen konnte zwar anschaulich dargelegt werden, jedoch fehlte noch ein übergeordnetes Prinzip, aus dem sich die Zusammenhänge schlüssig erklären lassen.

Nachdem in den Kapiteln zuvor die Grundlagen der Methode der finiten Elemente zusammengestellt worden sind, sollen nun die erworbenen Kenntnisse bei der numerischen Behandlung von Fachwerken, Rahmen und Trägerrosten zur Anwendung gelangen.

Mit dem vorliegendem Teil hat der Leser den Einstieg in die Grundlagen der Methode der finiten Elemente gewonnen. Dieses Rüstzeug befähigt zum weitergehenden Studium der Fachliteratur, die außerordentlich umfangreich und hochgradig spezialisiert ist. Die Ausführungen wurden bewußt sehr ausführlich gestaltet, um die Methode bis ins Detail nachvollziehbar darzulegen. Dies ist bei Stabtragwerken noch möglich und sinnvoll, da der FE-Methode die klassischen Verfahren der Baustatik gegenüberstehen. Bei anderen Tragwerksarten wie Scheiben, Platten und Schalen ist dies i. allg. nicht mehr möglich. Die Methode der finiten Elemente muß in diesen Fällen auf einer höheren Abstraktionsebene als Approximationsverfahren zur numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen dargestellt werden. Der Leser muß hier die elementaren Grundlagen und die üblichen Matrizenformulierungen sicher beherrschen. In diesem Sinne dient der vorliegende Teil zur Vorbereitung für vertiefte Studien. Trotz der Spezialisierung auf Stabtragwerke wurden die allgemeinen Grundlagen so dargestellt, daB ihre Allgemeingültigkeit nicht eingeschränkt ist und nach Bedarf auf andere Tragwerksarten übertragen werden können. Da sich die Methode nur sehr begrenzt für die Handrechnung eignet, ist der Anwender darauf angewiesen, ihre Leistungsfähigkeit auf elektronischen Rechenanlagen zu erproben. Dazu können heute preisgünstige Mikrorechner verwendet werden. Leider mangelt es an geeigneten Lehrprogrammen, die eine leichte Einarbeitung und den transparenten Umgang mit der Methode unterstützen. Für diejenigen, die an der programmtechnischen Umsetzung der Methode in Algorithmen interessiert sind, bietet der dargebotene Stoff die notwendigen Matrizenbeziehungen, die zur selbständigen Erstellung von FE-Rechenprogrammen benötigt werden.