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Erschienen in:
2022 | OriginalPaper | Buchkapitel
19. Die Q R-Zerlegung einer Matrix
verfasst von : Christian Karpfinger
Erschienen in: Höhere Mathematik in Rezepten
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
In der Theorie ist das lineare Ausgleichsproblem einfach zu lösen, es ist hierbei nur das lineare Gleichungssystem \(A^\top A \, x = A^\top b\) zu lösen. In den praktischen Anwendungen hat die Matrix A meist sehr viele Zeilen, sodass ein Lösen mit Bleistift und Papier nicht mehr möglich ist. Aber auch das (naive) Lösen der Normalgleichung mit einem Rechner ist nicht zu empfehlen: Das Berechnen von \(A^\top A\) und anschließende Lösen des LGS \(A^\top A \, x = A^\top b\) ist instabil und führt somit zu ungenauen Resultaten. Bei der numerischen Lösung des linearen Ausgleichsproblems ist die \(Q\,R\)-Zerlegung der Matrix A hilfreich. Mit der \(Q\,R\)-Zerlegung kann das lineare Ausgleichsproblem numerisch stabil gelöst werden.