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Erschienen in:
2013 | OriginalPaper | Buchkapitel
Die rationalen Zahlen
verfasst von : Jürg Kramer, Anna-Maria von Pippich
Erschienen in: Von den natürlichen Zahlen zu den Quaternionen
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
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Die Erweiterung der Multiplikation natürlicher Zahlen auf den neu konstruierten Bereich der ganzen Zahlen führt zum algebraischen Konzept eines Rings. Das Studium der Grundaspekte der Ringtheorie ist Gegenstand des dritten Kapitels: Dazu werden Ringe, Unterringe, Ideale, Ringhomomorphismen und Faktorringe studiert. Mit den Integritätsbereichen und Körpern werden spezielle Klassen von kommutativen Ringen entdeckt, die wiederum im Hinblick auf den Aufbau der Zahlbereiche eine besondere Rolle spielen; in Körpern ist beispielsweise die Division mit Ausnahme der Null jeweils uneingeschränkt ausführbar. Wir werden erkennen, dass sich Integritätsbereiche immer zu Körpern erweitern lassen. Da sich der Ring (ℤ;+;⋅) als Integritätsbereich herausstellt, gelangen wir unter Anwendung dieses Ergebnisses zum Körper (ℚ;+;⋅) der rationalen Zahlen. Das dritte Kapitel schließt mit einer Diskussion über spezielle Ringe, was durch eine algebraische Systematisierung der Teilbarkeitslehre motiviert ist.