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Über dieses Buch

Die Aufgaben in diesem Buch zählen zu den Perlen mathematischer Wettbewerbe und zeigen die Schönheit und Eleganz mathematischer Sachverhalte bereits auf dem Schulniveau. Dabei ist dieses Werk aber mehr als eine Sammlung typischer und origineller Probleme, die von einem Team erfahrener Lehrer und Hochschullehrer ausgewählt wurden: Alle Aufgaben wurden thematisch geordnet und mit ausführlichen Lösungen versehen. Jeder Abschnitt beginnt mit einem einführenden Text, in dem relevante Fakten und Strategien zusammengestellt werden. Anhand von Lösungsvarianten werden außerdem unterschiedliche Herangehensweisen erläutert und die Handhabung mathematischer Werkzeuge demonstriert. Die bewusste Anwendung heuristischer Prinzipien hierbei dient der Entwicklung allgemeiner Kompetenzen zum Problemlösen.

Ob Selbststudium, Arbeitsgemeinschaften, Mathe-Zirkel oder Trainingscamps - das Buch bietet reichhaltiges Trainingsmaterial, um sich selbst oder andere aktiv auf mathematische Wettbewerbe wie Mathematik-Olympiaden, den Bundeswettbewerb Mathematik oder den Känguru-Wettbewerb vorzubereiten.

Im vertieften Mathematik-Unterricht kann das Material ebenfalls genutzt werden, um Einblicke in verschiedene Facetten der Mathematik zu geben, Lösungstechniken vorzustellen und ihre Anwendung zu üben. Die Aufgaben sind prinzipiell mit Kenntnissen aus dem Unterricht der Sekundarstufe II lösbar, durch ihren teilweise erheblichen Schwierigkeitsgrad sind sie jedoch gelegentlich selbst für Mathematik-Begeisterte eine Herausforderung. Schließlich wird das Buch auch für junge Menschen beim Übergang von der Schule zur Hochschule in mathematisch orientierten Studiengängen eine Unterstützung sein. Manche heuristischen Methoden können durchaus in anderen Disziplinen angewandt werden und sind mitunter sogar im Alltag nützlich.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Kombinatorik

Zusammenfassung
Die Welt kombinatorischer Aufgaben beginnt mit dem Abzählen von Objekten, also den Abzählproblemen. Eine etwas andere Ausrichtung haben dann die Untersuchungen zur Existenz gewisser Strukturen oder Situationen. Das betrifft oft extremale Fälle, und so hängen solche Extremalprobleme ganz eng mit den zuvor genannten Existenzproblemen zusammen.
Roger Labahn

Kapitel 2. Kombinatorische Geometrie

Zusammenfassung
In diesem Kapitel befassen wir uns mit kombinatorischer Geometrie. Es geht dabei um Kombinatorik mit geometrischen Objekten. In der ersten Sektion studieren wir Punktpackungen, d. h. Probleme von folgendem Typ: Gegeben sei ein ebenes oder räumliches Gebiet. Wie viele Punkte kann man in diesem Gebiet unterbringen, die jeweils einen gegebenen Mindestabstand haben? Wir präsentieren hier als wichtiges allgemeines Resultat den Satz von JUNG.
Hans-Dietrich Gronau

Kapitel 3. Gleichungen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen, die eine oder mehrere Unbekannte (Variable) enthalten. Aufgaben dieses Typs werden in Olympiaden gern als „Einstiegsaufgaben“ gestellt. Dabei sind meist alle Werte der Variablen zu bestimmen, die sämtliche Gleichungen erfüllen. Typischerweise wird dies durch eine Folge von Transformationen erreicht, die das Problem schrittweise vereinfachen, bis die Lösungen ersichtlich sind.
Elias Wegert

Kapitel 4. Ungleichungen

Zusammenfassung
Ungleichungen eignen sich hervorragend als mathematische Probleme für Wettbewerbe. Sie lassen ein breites Spektrum von Aufgabenstellungen zu und verbinden dabei unterschiedliche mathematische Disziplinen, manchmal auf verblüffende Weise. Wir illustrieren das an einem alternativen Beweis für die Ungleichung zwischen dem arithmetischem und dem geometrischen Mittel zweier positiver reeller Zahlen.
Andreas Felgenhauer, Wolfgang Moldenhauer

Kapitel 5. Funktionen

Zusammenfassung
Der Begriff der Funktion ist für die gesamte Mathematik von zentraler Bedeutung. Abstrakt gesprochen, ist eine Funktion f eine Menge von geordneten Paaren (x, y) mit x \(\in \) X und y \(\in \) Y, für die außerdem gilt, dass aus (x, y) \(\in \) f und (x, z) \(\in \) f die Gleichheit y \(=\) z folgt. Zur Bezeichnung benutzen wir hier die Schreibweise f : X \(\to \) Y .
Jürgen Prestin

Kapitel 6. Folgen

Zusammenfassung
Eine Folge ist eine Funktion, die jeder nichtnegativen ganzen Zahl n einen (reellen) Wert xn zuweist. Die Zahlen xn nennt man Glieder (oder auch Elemente) der Folge.
Elias Wegert

Kapitel 7. Zahlentheorie

Zusammenfassung
Die elementare Zahlentheorie hat das Studium der ganzen Zahlen und ihrer arithmetischen Beziehungen zum Gegenstand. Die herausragende Rolle dieses Gebiets in der Elementarmathematik drückt treffend der Ausspruch Leopold Kroneckers aus: „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.“ [37] Neben den ganzen Zahlen spielen naturgemäß der engere Zahlenbereich der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, . . . und der weitere Bereich der rationalen Zahlen eine Rolle in zahlentheoretischen Aufgaben.
Martin Welk

Kapitel 8. Ebene Geometrie

Zusammenfassung
Die mathematischen Wissenschaften galten seit der griechischen Antike als Kern- und Hauptfach bei der Erziehung junger Menschen. Mithin war die Geometrie grundlegender und selbstverständlicher Bestandteil des klassischen Bildungskanons der Schulen.
Wolfgang Ludwicki, Michael Rüsing

Kapitel 9. Räumliche Geometrie

Zusammenfassung
Neben der Planimetrie ist die räumliche Geometrie, die Stereometrie, klassischer Bestandteil der Mathematik. Lange war sie auch ein Kriterium für Allgemeinbildung. Leider spielt sie heute in der Schulmathematik nur eine unbedeutende Nebenrolle. Nichtsdestotrotz – und vielleicht gerade deshalb – sind Aufgaben in diesem Gebiet bei Mathematik-Olympiaden sehr beliebt (und manchmal gefürchtet).
Andreas Felgenhauer

Kapitel 10. Besonderes

Zusammenfassung
Die in diesem Kapitel zusammengestellten Aufgaben haben gemeinsam, dass sie nicht vorrangig einem Gebiet der Schulmathematik zugeordnet werden können, aber in besonderem Maße die Fähigkeit teilnehmender Schülerinnen und Schüler herausfordern, selbstständig Ideen und Ansätze zu finden. Das vorausgesetzte mathematische Wissen ist dabei untergeordnet, Kombinationsgabe und Überblick sind gefragt.
Martin Welk

Backmatter

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