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2015 | Buch

Differentialgeometrie, Topologie und Physik

verfasst von: Mikio Nakahara

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Differentialgeometrie und Topologie sind wichtige Werkzeuge für die Theoretische Physik. Insbesondere finden sie Anwendung in den Gebieten der Astrophysik, der Teilchen- und Festkörperphysik. Das vorliegende beliebte Buch, das nun erstmals ins Deutsche übersetzt wurde, ist eine ideale Einführung für Masterstudenten und Forscher im Bereich der theoretischen und mathematischen Physik.

- Im ersten Kapitel bietet das Buch einen Überblick über die Pfadintegralmethode und Eichtheorien.

- Kapitel 2 beschäftigt sich mit den mathematischen Grundlagen von Abbildungen, Vektorräumen und der Topologie.

- Die folgenden Kapitel beschäftigen sich mit fortgeschritteneren Konzepten der Geometrie und Topologie und diskutieren auch deren Anwendungen im Bereich der Flüssigkristalle, bei suprafluidem Helium, in der ART und der bosonischen Stringtheorie.

- Daran anschließend findet eine Zusammenführung von Geometrie und Topologie statt: es geht um Faserbündel, characteristische Klassen und Indextheoreme (u.a. in Anwendung auf die supersymmetrische Quantenmechanik).

- Die letzten beiden Kapitel widmen sich der spannendsten Anwendung von Geometrie und Topologie in der modernen Physik, nämlich den Eichfeldtheorien und der Analyse der Polakov'schen bosonischen Stringtheorie aus einer gemetrischen Perspektive.

Mikio Nakahara studierte an der Universität Kyoto und am King’s in London Physik sowie klassische und Quantengravitationstheorie. Heute ist er Physikprofessor an der Kinki-Universität in Osaka (Japan), wo er u. a. über topologische Quantencomputer forscht. Diese Buch entstand aus einer Vorlesung, die er während Forschungsaufenthalten an der University of Sussex und an der Helsinki University of Sussex gehalten hat.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Quantenphysik

Zusammenfassung

Dieses Kapitel bietet eine kurze Einführung in die Pfadintegral-Quantisierung. Physikstudierende, die mit diesem Thema bereits vertraut sind, und Mathematikstudierende, die sich nicht so sehr für Physik interessieren, können es auch überspringen und direkt im zweiten Kapitel einsteigen. Unsere Darstellung hier ist nur eine ganz skizzenhafte, und detailliertere Einführungen finden sich bei Bailin und Love (1996), Cheng und Li (1984), Huang (1982), Das (1993), Kleinert (1990), Ramond (1989), Ryder (1996) und Swanson (1992).Wir folgen hier vor allem Alvarez (1995), Bertlmann (1996), Das (1993), Nakahara (1998), Rabin (1995), Sakita (1985) und Swanson (1992).

Mikio Nakahara

2. Mathematische Grundlagen

Zusammenfassung

Im vorliegenden Kapitel führen wir elementare Konzepte aus der Theorie von Abbildungen, Vektorräumen und Topologie ein. Ein bescheidenes Vorwissen aus dem mathematischen Grundstudium, wie Mengentheorie, reelle und komplexe Analysis sowie lineare Algebra, wird vorausgesetzt.

Mikio Nakahara

3. Homologiegruppen

Zusammenfassung

Unter den topologischen Invarianten ist die Euler-Charakteristik eine Größe, die sich relativ einfach berechnen lässt, wenn man den Raum „polyedrisiert“. Homologiegruppen sind sozusagen eine Verfeinerung dieser Euler-Charakteristik. Darüber hinaus können wir aus Homologiegruppen leicht die Euler-Charakteristik ablesen. Schauen wir uns Abb. 3.1 an. In Abb. 3.1(a) gehört das Innere des Dreiecks zur Figur, in Abb. 3.1(b) nicht. Wie können wir diesen Unterschied sauber formulieren? Offensichtlich bilden die drei Kanten in Abb. 3.1(a) den Rand der Fläche in ihrem Inneren, während die Kanten in Abb. 3.1(b) nicht die Kanten von irgendetwas sind, weil es dort kein Inneres gibt.

Mikio Nakahara

4. Homotopiegruppen

Zusammenfassung

Der Witz bzw. die Grundidee bei den Homologiegruppen im vorigen Kapitel war es, Zyklen, die keine Ränder sind, eine Gruppenstruktur zuzuschreiben. Bei den Homotopiegruppen interessieren uns dagegen stetige Deformationen, die eine Abbildung in eine andere überführen.

Mikio Nakahara

5. Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Mannigfaltigkeiten verallgemeinern unsere vertrauten Vorstellungen von Kurven und Flächen auf Objekte von beliebiger Dimension. Eine Kurve im dreidimensionalen euklidischen Raum wird durch eine einzelne Zahl t lokal als (x(t), y(t), z(t)) parametrisiert, während die zwei Zahlen u und v eine Fläche gemäß (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) parametrisieren. Kurven und Flächen lassen sich als lokal homöomorph zu den Räumen ℝ bzw. ℝ² ansehen. Eine Mannigfaltigkeit ist, ganz allgemein gesprochen, ein topologischer Raum, der lokal homöomorph zum ℝ^m ist; er kann sich global durchaus vom ℝ^m unterscheiden.

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6. De-Rham-Kohomologiegruppen

Zusammenfassung

In Kapitel 3 haben wir Homologiegruppen von topologischen Räumen definiert. Ist ein topologischer Raum M eine Mannigfaltigkeit, dann können wir über die auf M definierten Differenzialformen die zu einer Homologiegruppe duale Gruppe definieren. Diese dualen Gruppen werden De-Rham-Kohomologiegruppen genannt. Außer dass Physiker mit Differenzialformen meist besser vertraut sind, haben Kohomologiegruppen auch noch eine Reihe von weiteren Vorzügen gegenüber Homologiegruppen.

Mikio Nakahara

7. Riemann’sche Geometrie

Zusammenfassung

Eine Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der lokal wie der ℝⁿ aussieht. Aufgrund der Existenz von glatten Koordinatensystemen kann man auf einer Mannigfaltigkeit Analysis betreiben. Eine Mannigfaltigkeit kann eine weitergehende Struktur erhalten, wenn man sie mit einem metrischen Tensor versieht – einer natürlichen Verallgemeinerung des inneren Produkts zweier Vektoren im ℝⁿ auf beliebige Mannigfaltigkeiten. Diese neue Struktur definiert das innere Produkt von Vektoren in einem Tangentialraum T _p M.

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8. Komplexe Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, welcher differenzierbare Strukturen zulässt. Hier führen wir nun mit der komplexen Struktur eine weitere Struktur ein, die ebenfalls für die Physik große Bedeutung hat. In der elementaren komplexen Analysis müssen die partiellen Ableitungen den Cauchy-Riemann’schen Differenzialgleichungen gehorchen. Es geht dabei nicht nur um die Differenzierbarkeit, sondern auch um die Analytizität einer Funktion. Eine komplexe Mannigfaltigkeit lässt eine komplexe Struktur zu, in der jede Koordinatenumgebung homoömorph zu ℂ^m ist und der Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen analytisch ist.

Mikio Nakahara

9. Faserbündel

Zusammenfassung

Eine Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der lokal wie der ℝ^m aussieht, aber nicht notwendigerweise auch global. Durch Einführen einer Karte geben wir der Mannigfaltigkeit eine lokale euklidische Struktur, was es uns ermöglicht, konventionelle Analysis mit mehreren Variablen zu betreiben. Ein Faserbündel ist sozusagen ein topologischer Raum, der lokal wie ein direktes Produkt von zwei topologischen Räumen aussieht. Viele physikalische Theorien, wie die Allgemeine Relativitätstheorie und Eichtheorien, lassen sich auf natürliche Weise mithilfe von Faserbündeln formulieren.

Mikio Nakahara

10. Zusammenhänge auf Faserbündeln

Zusammenfassung

In Kapitel 7 haben wir Zusammenhänge in Riemann’schen Mannigfaltigkeiten eingeführt, mit denen man Vektoren in verschiedenen Tangentialräumen vergleichen kann. In diesem Kapitel werden Zusammenhänge auf Faserbündeln definiert – zwar abstrakt, aber geometrisch.

Mikio Nakahara

11. Charakteristische Klassen

Zusammenfassung

Sind eine Faser F, eine Strukturgruppe G und ein Basisraum M gegeben, können wir – abhängig von den gewählten Übergangsfunktionen – eine Vielzahl von Faserb ündeln über M konstruieren. Dabei drängt sich die Frage auf, wie viele Bündel es insgesamt über M gibt, wenn F und G gegeben sind, und wie sehr sie sich jeweils von einem trivialen Bündel M × F unterscheiden.

Mikio Nakahara

12. Indexsätze

Zusammenfassung

In der Physik haben wir es oft mit auf einer Mannigfaltigkeit M definierten Differenzialoperatoren zu tun. Typische Beispiele sind etwa der Laplace-, der D’Alembertund der Dirac-Operator.

Mikio Nakahara

13. Anomalien in Eichtheorien

Zusammenfassung

In der Teilchenphysik sind Symmetrieprinzipien grundlegend für das Aufstellen von physikalischen Modellen. Symmetrien spielen sowohl für die Renormierbarkeit als auch für die Unitarität einer Theorie eine entscheidende Rolle, und die Lagrange- Funktion der Theorie muss so gewählt werden, dass sie die beobachteten Symmetrien des zu beschreibenden Systems erfüllt. Beachten Sie jedoch, dass die Symmetrie der Lagrange-Funktion klassisch ist. Es gibt keine Garantie dafür, dass sich die Symmetrie der Lagrange-Funktion in eine Quantensymmetrie überführen lässt, d. h. in eine Symmetrie der effektiven Wirkung.

Mikio Nakahara

14. Bosonische Stringtheorie

Zusammenfassung

In diesem letzten Kapitel beschäftigen wir uns mit der Ein-Schleifen-Amplitude in der bosonischen Stringtheorie. Unser Beispiel ist das einfachstmögliche: geschlossene orientierte bosonische Strings im 26-dimensionalen euklidischen Raum.

Mikio Nakahara

Backmatter

Titel: Differentialgeometrie, Topologie und Physik
verfasst von: Mikio Nakahara
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-45300-1
Print ISBN: 978-3-662-45299-8
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-45300-1