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Über dieses Buch

Dieses Buch entstand aus Vorlesungen über das Thema "Differentialgeometrie", die der Autor wiederholt und an verschiedenen Orten gehalten hat. Vom Umfang her ent­ spricht es einer einsernestrigen Vorlesung über klassische Differentialgeometrie (das sind die Kapitel 1-4 des Buches), gefolgt von einer ebenfalls einsernestrigen Vorlesung über Riemannsche Geometrie (Kapitel 5-8). Die wesentlichen Vorkenntnisse sollten in den üblichen Standardvorlesungen des Grundstudiums (1. -3. Semester) bereitgestellt sein: Lineare Algebra und Analysis, einschließlich Differential- und Integralrechnung in meh­ reren Veränderlichen. Komplexe Funktionen werden lediglich in Abschnitt 3D (Minimal­ flächen) verwendet. Daher eignet sich das Buch als Begleitlektüre zu einer Vorlesung ab dem 4. Semester, und zwar ausdrücklich auch für Lehramtsstudenten und - das gilt be­ sonders für das Kapitel 8 - auch für Physikstudenten. Naturgemäß kann der Anspruch nicht sein, dabei wissenschaftliches Neuland zu betreten. Vielmehr geht es um das Be­ reitstellen der grundlegenden Begriffe und Methoden, die dann - darauf aufbauen- das Studium der größeren Werke zur klassischen und modernen Differentialgeometrie erst ermöglichen. Besonders in den Anfangs-Kapiteln wird großer Wert auf Anschau­ lichkeit gelegt, was durch zahlreiche Abbildungen dokumentiert wird. Die nach Ansicht des Autors besonders wichtigen Dinge sind in Kästchen eingerahmt, um sie besonders hervorzuheben. Diese stellen sozusagen ein Gerüst des Inhalts dar. Dieses Buch wäre nicht möglich gewesen ohne die Unterstützung meiner Studenten und Mitarbeiter, die zahlreiche Fehler aus den ersten Versionen eliminiert haben.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Bezeichnungen sowie Hilfsmittel aus der Analysis

Zusammenfassung
Die in den folgenden Kapiteln 2 und 3 vorgestellte Differentialgeometrie (auch euklidische Differentialgeometrie genannt) basiert auf dem euklidischen Raum E n als umgebenden Raum. Die wichtigsten algebraischen Strukturen darauf sind einerseits die Vektorraumstruktur, andererseits das euklidische Skalarprodukt. Ferner verwenden wir die topolo-gische Struktur in Gestalt von Grenzwerten, offenen Mengen, Differentiation und Integration. Durch Auszeichnung eines festen Punktes als Ursprung ist es möglich, den euklidischen Raum E n mit dem n zu identifizieren, was wir in diesem Buch im weiteren Verlauf auch tun wollen. Zu den Grundbegriffen aus der Linearen Algebra verweisen wir auf das Buch von G. Fischer, zu Grundbegriffen der Analysis (einschließlich gewöhnlicher Differentialgleichungen) verweisen wir auf O. Forster, Analysis 1,2, zur Integration und zu Differentialformen auf O. Forster, Analysis 3.
Wolfgang Kühnel

Kapitel 2. Kurven im ℝ n

Zusammenfassung
In der realen Welt treten Kurven in verschiedenster Weise auf, zum Beispiel als Profilkurven von technischen Objekten oder auch als Umrisse derselben. Auf dem weißen Zeichenpapier erscheinen Kurven als die Spur, die ein Bleistift oder ein anderes Zeichengerät hinterlassen hat. Für den Physiker treten Kurven auch als Bewegungen eines Massenpunktes in der Zeit t auf. Hierbei ist die Zuordnung vom Parameter t zum Ort c(t) wichtig, man spricht dann auch von einer Parametrisierung bzw. einer parametrisierten Kurve. Dies eignet sich naturgemäß am besten für eine Beschreibung einer solchen Kurve in einem mathematischen Kontext. Dabei abstrahiert man von jeder Dicke, die eine (reale) Kurve in irgendeinem Sinne haben könnte, und betrachtet ein rein 1-dimensionales, also „unendlich dünnes“ Gebilde. Dabei sollen sowohl die Parametrisierung als auch die Bildmenge vernünftige Eigenschaften haben, die eine mathematische Behandlung erlauben. Ein ganz kurzer Abriß von Anfangsgründen einer Kurventheorie findet sich bereits in dem Buch von O. Forster, Analysis 2, §4. Wir werden dies hier aber nicht voraussetzen.
Wolfgang Kühnel

Kapitel 3. Lokale Flächentheorie

Zusammenfassung
Beim Übergang von Kurven zu Flächen ersetzen wir im Prinzip nur den einen Kurvenparameter durch zwei unabhängige Parameter, die dann ein zweidimensionales Gebilde beschreiben, eben eine parametrisierte Fläche. Dabei sollte unter dem differentialgeometrischen Gesichtspunkt eine Fläche nicht nur durch eine differenzierbare Abbildung in zwei reellen Parametern beschrieben werden, sondern sie sollte eine geometrische Linearisierung derart zulassen, daß in jedem Punkt eine lineare Fläche der gleichen Dimension existiert, also eine Ebene, die die gegebene Fläche von erster Ordnung berührt. Also ist es sehr natürlich zu fordern, daß eine Parametrisierung in jedem Punkt eine Ableitung von maximalem Rang besitzt. Solch eine Abbildung nennt man eine Immersion, vgl. 1.3.
Wolfgang Kühnel

Kapitel 4. Die innere Geometrie von Flächen

Zusammenfassung
Unter „innerer Geometrie“ versteht man all diejenigen Eigenschaften einer Fläche, die nur von der ersten Fundamentalform abhängen. Populär ausgedrückt ist die innere Geometrie einer 2-dimensionalen Fläche diejenige, die von rein 2-dimensionalen Lebewesen (den sogenannten „Flachländern“ oder auch „Flächenländern“1) erkannt werden kann, ohne Kenntnis einer dritten Dimension. Längen und Winkel gehören sicher dazu. Es stellt sich dabei die Frage, welche sonstigen geometrischen Größen zur inneren Geometrie gehören, insbesondere auch, welche der betrachteten Krümmungsgrößen dazugehören. Einerseits ist es intuitiv klar, daß eine Verzerrung der Längen- und Winkelverhältnisse auch irgendeinen Einfluß auf die Krümmung haben kann. Andererseits ist keineswegs klar, ob und inwieweit die erste Fundamentalform ausreicht, um die Krümmung festzulegen.
Wolfgang Kühnel

Kapitel 5. Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir eine „innere Geometrie“ ohne Benutzung eines umgebenden Raumes n+1 erklären, und zwar nicht nur lokal, sondern auch global. Damit werden die Betrachtungen von Kapitel 4 fortgesetzt. Die entscheidenden Hilfsmittel sind einerseits in lokaler Hinsicht eine „erste Fundamentalform“ohne Verwendung eines umgebenden Raumes n+1 (analog zur inneren Geometrie in Kapitel 4) und andererseits in globaler Hinsicht der Begriff der „Mannigfaltigkeit“. Dabei geht der lokale Begriff im wesentlichen zurück auf Riemanns berühmten Habilitationsvortrag1, was die heutigen Bezeichnungen Riemannsche Geometrie, Riemannsche Mannigfaltigkeit, Riemannscher Raum erklärt2. Motiviert ist das an dieser Stelle für uns einerseits durch die innere Geometrie von Flächen einschließlich des Satzes von Gauß-Bonnet und andererseits durch das natürliche Vorkommen von solchen Räumen, die nicht oder nicht in naheliegender Weise als Hyperfläche in einen n eingebettet werden können, wie z. B. die Poincaré-Halbebene als Modell der nichteuklidischen Geometrie. Bei den in der Allgemeinen Relativitätstheorie betrachteten Raumzeiten von 3 + 1 Dimensionen schließlich gibt es, jedenfalls in natürlicher Weise, keinen umgebenden Raum. Man muß daher alle relevanten Größen rein innergeometrisch erklären.
Wolfgang Kühnel

Kapitel 6. Der Krümmungstensor

Zusammenfassung
In der Gauß-Gleichung 4.15 bzw. 4.18 steht auf der linken Seite ein Ausdruck, den wir als Krümmungstensor bezeichnet haben. Seine Beziehung zur Krümmung (und damit der Name) wird klar beschrieben durch das Theorema Egregium 4.16 bzw. 4.20. Es ist dabei von großer Bedeutung, daß diese linke Seite der Gauß-Gleichung nur von der ersten Fundamentalform bzw.
Wolfgang Kühnel

Kapitel 7. Räume konstanter Krümmung

Zusammenfassung
Für jede Krümmungsgröße ist die Konstanz eine naheliegende Bedingung, die man untersuchen sollte. Dieses Kapitel befaßt sich daher mit Riemannschen Mannigfaltigkeiten, bei denen die Schnittkrümmung K konstant ist oder, äquivalenterweise, bei denen der Krümmungstensor R bis auf eine Konstante K mit dem Krümmungstensor R 1 der Einheits-Sphäre übereinstimmt, bei denen also R = KR 1 gilt, vgl. 6.8. Auf diese Räume wird man auch geführt, wenn man das Problem der freien Beweglichkeit starrer Körper untersucht, vgl. 7.6. Helmholtz hat diese Beweglichkeit im 19. Jahrhundert aus physikalischer Sicht postuliert. Selbstverständlich gehören der euklidische Raum sowie die Sphäre selbst zu diesen Räumen. Aber es gibt — außer offenen Teilmengen davon — auch noch andere Beispiele. Die Bestimmung dieser Räume ist das sogenannte Raumformen-Problem. Auch die Frage nach der Existenz eines Raumes mit Schnittkrümmung K = -1 (als Pendant zur Sphäre) war lange Zeit ein ungelöstes Problem, dessen Lösung schließlich durch den hyperbolischen Raum gegeben wurde. Wir wenden uns diesem jetzt zu und erklären ihn als Hyperfläche im pseudo-euklidischen Raum, analog zum Fall der Dimension 2 in Abschnitt 3E. Hier brauchen wir nur die dortigen Ausführungen auf den n-dimensionalen Fall zu übertragen, was zusätzlich durch die Gauß-Gleichung sowie die Sätze in Abschnitt 6B über den Krümmungstensor erleichtert wird. Ein Hauptergebnis in Abschnitt 7B ist dann die lokale Isometrie je zweier Riemannscher Metriken mit der gleichen konstanten Schnittkrümmung (7.21). In den Abschnitten 7C und 7D greifen wir das Raumformen-Problem auf, speziell in den Dimensionen 2 und 3.
Wolfgang Kühnel

Kapitel 8. Einstein—Räume

Zusammenfassung
Für eine gegebene differenzierbare Mannigfaltigkeit M (zunächst ohne Riemannsche Metrik) ergibt sich in ganz natürlicher Weise die folgende Frage:
Gibt es eine ausgezeichnete Metrik g mit besonders „guten“ Krümmungseigenschaften, etwa in dem Sinne, daß die Krümmung möglichst gleichmäßig verteilt ist?
Wolfgang Kühnel

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