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Über dieses Buch

Dieses Buch gibt einen Einblick in die wichtige und faszinierende Welt der Differentialgleichungen. Hierbei steht die Anwendung stets im Vordergrund, um die Nützlichkeit für die Modellierung naturwissenschaftlicher und technischer Phänomene zu verdeutlichen und die theoretischen Ergebnisse zu motivieren. Hierfür werden gewöhnliche Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung sowie Differentialgleichungssysteme betrachtet. Zudem wird eine Einführung in partielle Differentialgleichungen gegeben und es werden numerische Verfahren zur Lösung gewöhnlicher sowie partieller Differentialgleichungen vorgestellt.

Für die nicht immer einfachen Berechnungen und Integrationen werden die Softwaretools MATLAB und Mathematica eingesetzt. Mithilfe von zahlreichen Übungsaufgaben können die vorgestellten Verfahren an reinen Rechenaufgaben wie auch an Anwendungsaufgaben erlernt werden. Zudem gibt es umfangreichere Projektaufgaben, die unter Einsatz von MATLAB oder Mathematica zu bearbeiten sind. Für fast alle Übungsaufgaben werden vollständig durchgerechnete Lösungswege im Buch oder einem Video im YouTube-Kanal „Differentialgleichungen für Einsteiger“ präsentiert. Das Buch eignet sich also auch hervorragend zum Selbststudium.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Wiederholung: Differential- und Integralrechnung

Zusammenfassung
Dieses Kapitel richtet sich an alle, die noch einmal einige Regeln, Definitionen, Fertigkeiten oder Kenntnisse aus der Oberstufe wiederholen möchten. Hierbei geht es um die Differential- und Integralrechnung als wesentliche Bestandteile der Analysis, die wir in den weiteren Kapiteln voraussetzen.Wir werden an dieser Stelle alles Wesentliche kurz zusammenfassen und auf Beweise verzichten, jedoch an einigen Beispielen die Verfahren noch einmal veranschaulichen.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß

Kapitel 2. Einführung und Grundbegriffe

Zusammenfassung
Viele Prozesse in der Natur und Technik lassen sich mithilfe mathematischer Modelle untersuchen. Ein System mathematisch zu modellieren bedeutet, die Gesamtheit der Aspekte des Systemprozesses in eine geeignete mathematische Aufgabenstellung umzuwandeln. Viele Größen des beschriebenen Systems und ihre Änderung gehen mit der Änderung bestimmter anderer Größen einher. Zum Beispiel ändert sich beim Start einer Rakete permanent die Geschwindigkeit, aber auch die Treibstoffmenge, bis der gesamte Treibstoff aufgebraucht ist. Beim Einschalten eines Gleichstroms steigt dieser zunächst an, bevor er sich einem konstanten Grenzwert nähert.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß

Kapitel 3. Differentialgleichungen erster Ordnung

Zusammenfassung
Im Sinne unserer Ausführungen in Kap. 1 hat eine DGL erster Ordnung die Form.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß

Kapitel 4. Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Zusammenfassung
Unter einer DGL zweiter Ordnung verstehen wir in Analogie zur DGL erster Ordnung allgemein eine Gleichung der Form.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß

Kapitel 5. Differentialgleichungssysteme

Zusammenfassung
Aus dem mathematischen Unterricht der Mittel- und Oberstufe sind Ihnen sicher noch lineare Gleichungssysteme wie z. B.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß

Kapitel 6. Partielle Differentialgleichungen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Funktionen mehrerer Veränderlichen und ihren Ableitungen. Neu ist dabei, dass die Ableitungen bezüglich verschiedener Variablen zu den Funktionen in Beziehung gesetzt werden, sodass neue Typen von DGLs entstehen, denen in Naturwissenschaften und Technik eine wesentliche Rolle zukommt. Sie heißen partielle Differentialgleichungen.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß

Kapitel 7. Numerische Lösung von Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Wie Sie bereits in den vorangegangenen Kapiteln gesehen haben, können Problemstellungen aus den Bereichen der Physik, Chemie, Biologie, Ingenieurwissenschaften u. v. m. mithilfe von DGLs modelliert werden. Doch nicht immer können diese DGLs analytisch gelöst werden, d. h., die Lösung kann nicht in einer mathematisch geschlossenen Form angegeben werden oder das Auffinden dieser analytischen Lösung ist zu aufwendig.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß

Kapitel 8. Mathematische Modellierung

Zusammenfassung
In diesem abschließenden Kapitel wollen wir Ihnen einen Einblick in die Verwendung von DGLs in der Forschung und Entwicklung geben. Dazu zeigen wir beispielhaft, wie DGLs zur Modellierung und Simulation von biologischen Prozessen eingesetzt werden können. Diese Anwendung soll Ihnen einen Eindruck vermitteln, wie aufwendig und komplex der Prozess der Modellentwicklung ist und welchen Nutzen Forscher aus derartigen Modellen ziehen können.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß

Kapitel 9. Mathematische Softwaretools

Zusammenfassung
Um mathematische Berechnungen durchzuführen, wird heutzutage meist auf mathematische Software wie MATLAB, Maple oder Mathematica zurückgegriffen. Während es sich bei Maple und Mathematica um Computeralgebrasysteme (CAS) zur symbolischen Rechnung handelt, war MATLAB zu Anfang ein rein numerisches System. In aktuellen MATLAB-Versionen ist aber auch ein Symbolprozesser integriert, sodass auch exakte Berechnungen durchgeführt werden können. Andererseits können mit einem CAS auch numerische Berechnungen durchgeführt werden.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß

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