Differentialgleichungen. Rand- und Eigenwertaufgaben

Bei Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung tritt außer den bisher behandelten Anfangswertaufgaben noch eine andere Aufgabenstellung auf, nämlich die der Randwertaufgaben sowie der damit aufs engste zusammenhängenden Eigenwertaufgaben. Wir betrachten etwa eine Differentialgleichung zweiter Ordnung 1$$ y'' + f(x,y,y'). $$ Während nun bei den Anfangswertaufgaben die fragliche Lösungsfunktion y(x) aus der allgemeinen Lösung durch Wahl zweier Anfangsbedingungen y = y ₀ , y′ = y′₀ für x = x₀, also durch Anfangsordinate und Anfangssteigung an einer Anfangsstelle x₀ festgelegt wird, geschieht dies bei einer Randwertaufgabe durch zwei Bedingungen an zwei getrennten Stellen, durch sogenannte Randbedingungen an zwei Randstellen x = a und x = b, wobei die Lösung y(x) dann in der Regel auch nur in dem von den Rändern eingeschlossenen Gebiet a ≦ x ≦ b bestimmter (endlicher oder auch wohl unendlicher) Länge interessiert. Im einfachsten Falle hat man die Randbedingungen 2$$ y(a) = \alpha ,y(b) = \beta , $$ man fordert also Anfangs- und Endordinate der Lösung y(x) im Intervall (a, b), Abb. 28.1. An Stelle der Randordinaten (sogenannte erste Randwertaufgabe) lassen sich auch die Randsteigungen y′(a), y′(b) fordern (zweite Randwertaufgabe) oder schließlich eine Linearkombination zwischen Ordinaten und Steigungen (dritte Randwertaufgabe). Alle diese Aufgaben oder auch ihre Kombinationen treten in den Anwendungen auf.