8. Differenzialgleichungen – Grundbegriffe und erste Beispiele

Differenzialgleichungen sind Gleichungen, die eine oder mehrere Ableitungen einer gesuchten Funktion mit bekannten Funktionen oder mit der gesuchten Funktion selbst in eine Beziehung setzen. Sie nehmen einen breiten Raum in Naturwissenschaften und Technik ein, denn viele Bewegungs- und Ausgleichsphänomene werden durch Differenzialgleichungen beschrieben. Differenzialgleichungen entstehen z. B. dadurch, dass in Anwendungen Funktionen und ihre Ableitungen in eigenständigen Rollen auftauchen: So ist die Ableitung einer zurückgelegten Wegstrecke die Momentangeschwindigkeit. Naturgesetze bringen diese Funktionen in einen Zusammenhang und man erhält Differenzialgleichungen. In anderen Situationen gibt es Größen, die sich am leichtesten über ihr Änderungsverhalten beschreiben lassen. Das Änderungsverhalten hängt dabei aber wieder vom aktuellen Wert der betrachteten Größe ab. Auch auf diese Weise erhält man Differenzialgleichungen.Gemeinsam ist allen Differenzialgleichungen, dass eine Funktion gesucht ist. Zur Lösung von Differenzialgleichungen benötigen wir Kenntnisse aus Integral- und Differenzialrechnung, bei Systemen auch aus der Matrizenrechnung. Es gibt verschiedene Techniken, von denen die wichtigsten in den folgenden Abschnitten behandelt werden. Welches das richtige Lösungsverfahren ist, orientiert sich an den Eigenschaften der Differenzialgleichung, beispielsweise der Ordnung oder der Linearität der Gleichung. Manche dieser Verfahren sind recht aufwendig, und für manche Differenzialgleichungen gibt es überhaupt keine passenden Lösungsverfahren, um sie geschlossen zu lösen. Wir werden daher auch die Grundidee von Verfahren zur numerischen Lösung von Differenzialgleichungen vorstellen.Wir verzichten hier weitgehend auf theoretische Aussagen, unter welchen Umständen eine Differenzialgleichung lösbar ist und ob die Lösung eindeutig bestimmt ist. Vielmehr zeigen wir, welche Lösungsverfahren es für typische wichtige Differenzialgleichungen gibt, und wie man entscheidet, welches Verfahren für welche Gleichung angewendet werden kann.