Differenzierbare Funktionen

Wir hatten bereits mehrmals betont, daß es bei der Untersuchung einer Funktion meistens weit weniger darauf ankommt, ihre Werte an vorgegebenen Stellen als vielmehr die Veränderung dieser Werte bei Veränderung des Arguments zu kennen. Mit zwei besonders wichtigen Änderungsmodi — Monotonie und Stetigkeit — haben wir uns schon intensiv beschäftigt. Im vorliegenden Abschnitt nimmt unser Studium der Veränderungsphänomene eine ganz neue und, wie sich zeigen wird, alles Weitere beherrschende Wendung: Wir werden die Änderung der Funktion f in der Nähe der Stelle ξ, also die Differenz f (x)−f(ξ),mit der Änderung der einfachsten nichtkonstanten Funktion, nämlich g(x): = x, vergleichen, d.h., wir werden den sogenannten Differenzenquotienten betrachten und aus seinem Verhalten Rückschlüsse auf f(x) in der Nähe von ξ zu ziehen versuchen.