Digitale Werkzeuge, Simulationen und mathematisches Modellieren

Der Einsatz digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht ist inzwischen zur Normalität geworden und findet Einzug in alle Inhalts‐ und Handlungsbereiche im Mathematikunterricht. Der Beitrag verbindet die beiden Aspekte des mathematischen Modellierens und des Werkzeugeinsatzes und gibt zum einen einen Überblick über die mögliche Nutzung digitaler Werkzeuge beim mathematischen Modellieren im Unterricht. Dazu werden auch theoretische Modelle zur Nutzung digitaler Werkzeuge beim Modellieren vorgestellt und Erkenntnisse aus empirischen Untersuchungen betrachtet. Zum anderen wird das Simulieren als spezielle Verwendung digitaler Werkzeuge beim mathematischen Modellieren diskutiert. Die verschiedenen Ausgangspunkte digitale Werkzeuge, Simulationen und mathematisches Modellieren werden so zusammengeführt.

Speziell in Lehr‐Lern‐Situationen werden häufig solche Simulationen verwendet, die eine grafisch‐dynamische Repräsentation des Simulationsprozesses oder der Simulationsergebnisse zeigen. Vor diesem speziellen Hintergrund ist es schwer, Animationen von Simulationen zu unterscheiden. Der vorliegende Beitrag arbeitet den Begriff der Simulation theoretisch auf und leitet daraus ein Konzept zur Differenzierung von Simulationen und Simulationsumsetzungen ab, das die Aktivität des Benutzers bzw. die Möglichkeiten seines Einwirkens auf den Programmablauf zum Maßstab nimmt. Somit können einerseits bestehende Simulationen hinsichtlich dieser Variationsmöglichkeiten analysiert und darauf aufbauend auch verglichen werden. Andererseits kann das Konzept ebenso zur Entwicklung von Softwareumsetzungen einzelner Simulationen dienen.

Nahe an der Definition von Simulation durch den Verband Deutscher Ingenieure (VDI) wird die Rolle und Wirkung von Mathematik bei der Simulation berufsbezogener Kontexte beleuchtet. Anhand von Beispielen wie dem technischen Zeichnen, der Berechnung von Preisen wie etwa Zinsen und makro‐ökonomischer Kreislaufmodelle wird insbesondere auf die dienende Rolle der Mathematik bei Simulationen berufsbezogener Kontexte sowie auf die Tatsache des Versteckens von Mathematik in schwarzen Kästen („black boxes“) eingegangen. Konsequenzen für berufsbezogene Simulationen im Mathematikunterricht allgemeinbildender Schulen werden beschrieben.

Im Gegensatz zu Modellierungsprozessen wurden Simulationsprozesse bisher nur wenig empirisch beobachtet und beschrieben. Das vorliegende Kapitel nimmt sich diesem Forschungsdesiderat an und beschreibt eine qualitative Studie mit zwölf Schülerinnen und Schülern, in der analysiert wurde, ob bei der Bearbeitung von Modellierungsaufgaben spontane Simulationsprozesse auftreten, ohne dass die Schülerinnen und Schüler explizit zu diesen aufgefordert wurden. Anhand von fünf Fallskizzen wird aufgezeigt, dass Simulationsprozesse vor allem, aber nicht nur bei der Arbeit mit einer Dynamischen Geometrie‐Software auftreten und dass ihre Effektivität unter anderem auch von der Sicherheit im Umgang mit dem Programm abhängt. Außerdem wird die Existenz verschiedener Arten der Simulation auch empirisch nachgewiesen.

Im Mittelpunkt der folgenden Überlegungen steht ein Mathematiklabor an der Universität Würzburg, das es Schülerinnen und Schülern ab der 10. Jahrgangsstufe ermöglicht mit realen und virtuellen Modellen zu experimentieren, also Simulationen auszuführen und damit Entdeckungen zu generieren, Ergebnisse zu überprüfen, Sonderfälle zu untersuchen und Fragestellungen zu erweitern. Beispiele hierfür sind der Bagger, der Scheibenwischer oder das Einparken eines Autos, aber auch mathematische Instrumente wie Parabel‑ oder Ellipsenzirkel oder durch mathematische Ideen angeregte Modelle wie etwa „Gleichdicks“ oder Origami. Dieser Artikel zeigt an Beispielen Möglichkeiten des Einsatzes eines digitalen Werkzeugs bei Simulationen inner‑ und außermathematischen Problemstellungen auf (Alle Simulationen finden sich auch auf http://​www.​mathe-labor.​didaktik.​mathematik.​uni-wuerzburg.​de/​).

In diesem Artikel zeigen wir auf, wie eine räumliche und zeitliche Krankheitsdynamik in der Sekundarstufe 2 behandelt werden kann. Wir beschränken uns hier auf Krankheiten, die von Mensch zu Mensch übertragbar sind, wie etwa Grippe und Ebola. Dabei spielt die Simulation am Computer eine zentrale Rolle. Die benutzten Methoden hierbei sind zelluläre Automaten und explizite Euler-Algorithmen zur Lösung von Differentialgleichungen.

GPS ist ein globales Satellitennavigationssystem zur Positionsbestimmung, bei dem vielfältige mathematischen Methoden angewandt werden. Genutzt wird es fast alltäglich: Sei es beim Pokémon Go‐Spielen, im Straßenverkehr oder um die nächste Haltestelle samt Busverbindung zu finden. Die Fragestellung, wie die GPS‐Positionsbestimmung funktioniert, dürfte also für Schülerinnen und Schüler aufgrund dieses starken Lebensweltbezugs relevant sein. Weiter handelt es sich um eine realistische Problemstellung, die die Anwendung von Mathematik erfordert und somit authentisch ist. Ihre Behandlung bemüht von Pythagoras über Gleichungssysteme bis hin zu Winkelfunktionen einiges an Schulmathematik. Im vorliegenden Artikel werden die mathematischen Hintergründe der Positionsbestimmung mittels GPS und eine konkrete didaktisch‐methodische Umsetzung im Rahmen eines computergestützten Workshops für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe vorgestellt. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit echten vor Ort aufgenommenen Satellitendaten und erleben sehr anschaulich, wie sich ein Modell immer weiter verbessert. Die Modellverbesserung wird sichtbar, indem sich die ermittelte Position auf einer Karte immer weiter der tatsächlichen Position der Datenaufnahme annähert. Zur Beschreibung dieses Modellbildungsprozesses wird das Bild einer computergestützten Modellierungsspirale verwendet, was die Annäherung an eine optimale Lösung durch Wiederholung der Modellierungsschritte betont. Die Workshop‐Materialien (Arbeitsblätter, MATLAB‐Skripte) sind zum Download verfügbar.

Die didaktische Reduktion fachlicher Inhalte ist eines der wirksamsten Mittel, um komplexe Themen schülergerecht unterrichten zu können. Oftmals sind neue mathematische Strukturen im Unterricht nur vermittelbar, wenn die Lernumgebung einfach ist. Zusätzliche Informationen, die für die Vermittlung des neuen Fachinhaltes nicht unbedingt erforderlich sind, werden daher meist bewusst vermieden, um die Konzentration der Schülerinnen und Schüler auf das Wesentliche zu ermöglichen. Im Leben außerhalb der Schule sind mathematische Probleme jedoch selten didaktisch aufbereitet. Können weniger stark reduzierte Lernumgebungen einen Beitrag leisten, Schülerinnen und Schüler besser auf die Mathematik nach dem Schulabschluss vorzubereiten?

Im vorliegenden Unterrichtsprojekt übernehmen Schülerinnen und Schüler die Arbeit einer Firma, die Klimaschutzprojekte durchführt. Schülerinnen und Schüler einer zehnten Klasse sollten ein Klimaschutzprojekt von ihrem fiktiven Vorgänger übernehmen und dieses zunächst mit Hilfe einer Finanzkalkulation evaluieren. Das erstellte numerische Modell der finanziellen Entwicklung des Projektes basiert dabei auf Informationen aus diversen Quellen, darunter E‐Mails, Archivdateien, ein Kreditangebot, u. v. m. Die größte mathematische Schwierigkeit beschränkte sich auf einfache Zinsrechnung. Aufgabe der Schülerinnen und Schüler war es also nicht, in einer didaktisch reduzierten Lernumgebung neue Fachinhalte kennen zu lernen oder zu üben, sondern in einer inhaltlich erweiterten Lernumgebung Fachkompetenzen vergangener Jahrgangsstufen realitätsnah anzuwenden. Zur Umsetzung wurde ein numerisches Modell gewählt, da dieses einfach erweiterbar und damit binnendifferenzierend ist und durch individuelle Schätzungen unterschiedliche Schülerlösungen erlaubt.

Oft stehen beschreibende Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und beurteilende Statistik auf verschiedenen Curriculumstufen unverbunden nebeneinander. Insbesondere werden Werkzeuge der beschreibenden Statistik (wie Median, Boxplot, Quartilabstand) in der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht mehr genutzt. Sie finden aber auch in der beurteilenden Statistik keine Fortsetzung. Der folgende Beitrag zeigt, wie man diese Gebiete durch Experimentieren und Simulieren von Anfang an so miteinander vernetzen kann, dass zentrale Grundvorstellungen beurteilender Statistik früh angelegt und kontinuierlich ausgebaut werden.

Besonders gut gelingt dies, wenn man ab Klasse 7 einen hypothetisch‐prognostischen Wahrscheinlichkeitsbegriff pflegt, der sowohl den Laplaceschen wie auch den frequentistischen umfasst. Zufallsschwankungen und aktives Modellieren werden hier – anders als beim Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsbegriff – als integraler Bestandteil des Wahrscheinlichkeitskonzepts erlebt.

Wenn Lernende anschließend Zufallsschwankungen untersuchen und versuchen, diese der Größe nach zu ordnen, erfinden sie Abweichungsmaße, die durch Festlegen von Schranken mithilfe von Simulationen zu Testgrößen werden und den Grund legen für das „Konzept des Bezweifelns“. Darunter wird eine intuitiv eingängige Vorstufe des Testens von Hypothesen verstanden, welche durch vorläufigen Verzicht auf die Begriffe Nullhypothese und Signifikanzniveau zentrale Ideen beurteilender Statistik schon in der Sekundarstufe I hervortreten lässt.

Produkttests und -rankings spielen im Alltag eine wichtige Rolle. In diesem Beitrag wird das gängige Verfahren zum Erstellen von Rankings in Folge von Produkttests in erster Linie mathematisch untersucht. Dabei werden als Hintergrundwissen fachmathematische Überlegungen zum Kontext dargelegt und anschließend eine didaktische Betrachtung der Thematik vorgenommen. Die konkrete Umsetzung im Unterricht wird skizziert. Darüber hinaus wird die Frage, ob es einen stabilen Testsieger gibt, also ein Produkt, dass bei vielen verschiedenen Gewichtungen als Testsieger hervorgeht, diskutiert. Die Schülerinnen und Schüler können mit Hilfe einer Simulation einen solchen Testsieger finden und für Produkttests mit zwei oder drei Kategorien eine geometrische Deutung vornehmen.

In unserer Gesellschaft spielen Prognosen eine bedeutende Rolle. Als Beispiele seien hier nur Steuerschätzungen, Wettervoraussagen usw. genannt. In der Regel sind diese aber viel zu komplex, als dass sie für eine unterrichtliche Behandlung zugänglich wären. Um aber trotzdem den Schülerinnen und Schülern den Prozess nahe zu bringen, wählen wir als ein „einfaches“ Beispiel die Simulation einer Fußballbundesligasaison, da diese Situation eher der Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler nahekommt. Dabei steht weniger im Vordergrund, dass die Simulation ein hinreichend exaktes Ergebnis liefert, sondern dass Schülerinnen und Schüler erfahren wie Simulationen mit Hilfe von Zufallsgeneratoren durchgeführt werden können. Für die Simulationen werden verschiedene Annahmen vorausgesetzt. Ein erster Schritt geht davon aus, dass alle Mannschaften gleich stark sind. Dieser Ansatz entspricht sicher nicht der Realität. So ergibt sich im zweiten Ansatz die Frage, welche vorhandenen Daten für die Simulation des Ausgangs von Spielen – neben dem Zufall – eine Relevanz haben. Diese Daten sind für ein mathematisches Modell entsprechend zu gewichten. Ein weiteres Problem stellt die Umsetzung in die entsprechende Technologie (Diskutiert werden Einsätze von Excel und ClassPad 400. Das Projekt wurde mit Schülerinnen und Schülern im 2. Halbjahr der Qualifizierungsphase durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler benutzen den ClassPad seit der 7. Klasse. Excel stand ihnen im Computerraum zur Verfügung) dar. Angeregt wurde das Projekt durch die Artikel von Hußmann und Leuders (2006) und Wesson (2006), in denen man weitere Ansätze für die Simulation findet. Mir war es wichtig, ein mit Schülerinnen und Schülern durchzuführendes Projekt zu beschreiben, das in 2 Doppelstunden durchführbar ist.