Skip to main content

2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

4. Dilation Vector Field on Wiener Space

verfasst von : Hélène Airault

Erschienen in: Malliavin Calculus and Stochastic Analysis

Verlag: Springer US

Aktivieren Sie unsere intelligente Suche um passende Fachinhalte oder Patente zu finden.

search-config
loading …

Abstract

We consider the heat operator Δ H , heat equation, and heat kernel measures (ν t ) t≥0 on Wiener space Ω as explained in Driver (Contemp. Math. 338:101–141, 2003). We define the notion of heat dilation vector field associated to a family of probability measures (μ t ) t≥0 on Ω. Let ω ∈Ω. The vector field V on Ω is expressed for F(ω)=f(ω(t 1),ω(t 2),,ω(t n )) as VF(ω)=(vf)(ω(t 1), ω(t 2), ,ω(t n )) where \(vf =\sum _{ k=1}^{n}x_{k} \frac{\partial } {\partial x_{k}}\). The vector field V is shown to be a heat vector field for the heat kernel measures (ν t ) t≥0. We project down “through a nondegenerate map Z”, Ornstein–Uhlenbeck operators defined on Ω by \(\mathcal{L}_{t}F = t\Delta _{H}F - V F\). We obtain a first-order partial differential equation for the density of the random vector Z. We compare this differential equation to the heat equation and to Stein’s equation for the density.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 102.000 Bücher
  • über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Automobil + Motoren
  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Elektrotechnik + Elektronik
  • Energie + Nachhaltigkeit
  • Finance + Banking
  • Management + Führung
  • Marketing + Vertrieb
  • Maschinenbau + Werkstoffe
  • Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Springer Professional "Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 67.000 Bücher
  • über 390 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Automobil + Motoren
  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Elektrotechnik + Elektronik
  • Energie + Nachhaltigkeit
  • Maschinenbau + Werkstoffe




 

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 67.000 Bücher
  • über 340 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Finance + Banking
  • Management + Führung
  • Marketing + Vertrieb
  • Versicherung + Risiko




Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Literatur
1.
Zurück zum Zitat Airault, H., Malliavin, P., Viens, F.: Stokes formula on the Wiener space and n-dimensional Nourdin-Peccati analysis. J. Funct. Anal. 258(5), 1763–1783 (2010)MathSciNetMATHCrossRef Airault, H., Malliavin, P., Viens, F.: Stokes formula on the Wiener space and n-dimensional Nourdin-Peccati analysis. J. Funct. Anal. 258(5), 1763–1783 (2010)MathSciNetMATHCrossRef
2.
Zurück zum Zitat Airault, H., Malliavin, P.: Integration by parts formulas and dilatation vector fields on elliptic probability spaces. Probab. Theor. Rel. Fields. 106(4), 447–494 (1996)MathSciNetMATHCrossRef Airault, H., Malliavin, P.: Integration by parts formulas and dilatation vector fields on elliptic probability spaces. Probab. Theor. Rel. Fields. 106(4), 447–494 (1996)MathSciNetMATHCrossRef
3.
4.
Zurück zum Zitat Driver, B.K.: Heat kernels measures and infinite dimensional analysis. Heat kernels and analysis on manifolds, graphs, and metric spaces (Paris, 2002). Contemp. Math. 338, 101–141 (2003) (American Mathematical Society, Providence) Driver, B.K.: Heat kernels measures and infinite dimensional analysis. Heat kernels and analysis on manifolds, graphs, and metric spaces (Paris, 2002). Contemp. Math. 338, 101–141 (2003) (American Mathematical Society, Providence)
5.
Zurück zum Zitat Malliavin, P.: Analyse différentielle sur l’espace de Wiener. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. 1, 2 (Warsaw, 1983), pp. 1089–1096. Warsaw (1984) Malliavin, P.: Analyse différentielle sur l’espace de Wiener. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. 1, 2 (Warsaw, 1983), pp. 1089–1096. Warsaw (1984)
6.
Zurück zum Zitat Malliavin, P.: Stochastic analysis. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 313. Springer, Berlin (1997) Malliavin, P.: Stochastic analysis. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 313. Springer, Berlin (1997)
7.
Zurück zum Zitat Malliavin, P.: Calcul des variations, intégrales stochastiques et complexes de De Rham sur l’espace de Wiener. C.R. Acad. Sci. Paris Série I, 299(8), 347–350 (1984) Malliavin, P.: Calcul des variations, intégrales stochastiques et complexes de De Rham sur l’espace de Wiener. C.R. Acad. Sci. Paris Série I, 299(8), 347–350 (1984)
8.
Zurück zum Zitat Malliavin, P.: Calcul des variations stochastiques subordonné au processus de la chaleur. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 295(2), 167–172 (1982)MathSciNetMATH Malliavin, P.: Calcul des variations stochastiques subordonné au processus de la chaleur. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 295(2), 167–172 (1982)MathSciNetMATH
10.
11.
Zurück zum Zitat Nourdin, I., Viens, F.G.: Density formula and concentration inequalities with Malliavin calculus. Electron. J. Probab. 14(78), 2287–2309 (2009)MathSciNetMATH Nourdin, I., Viens, F.G.: Density formula and concentration inequalities with Malliavin calculus. Electron. J. Probab. 14(78), 2287–2309 (2009)MathSciNetMATH
12.
Zurück zum Zitat Nualart, D.: The Malliavin calculus and related topics. In: Probability and its Applications. Springer, Berlin (1995) Nualart, D.: The Malliavin calculus and related topics. In: Probability and its Applications. Springer, Berlin (1995)
13.
Zurück zum Zitat Wiener, N.: Differential space. J. Math. Phys. 2, 131–174 (1923) Wiener, N.: Differential space. J. Math. Phys. 2, 131–174 (1923)
Metadaten
Titel
Dilation Vector Field on Wiener Space
verfasst von
Hélène Airault
Copyright-Jahr
2013
Verlag
Springer US
DOI
https://doi.org/10.1007/978-1-4614-5906-4_4