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Über dieses Buch

Dimensionsbetrachtungen reichen bis in die Anfänge der Mechanik und besonders der Strömungslehre zurück. Zu der Fortentwicklung dieser Wissenschaften und zu dem Er­ kenntnisfortschritt der Naturwissenschaften allgemein haben Dimensionsbetrachtungen wesentliche Beiträge geliefert und oft richtungsweisend neue Wissensgebiete eröffnet. Leider verdeckt der Hinweis auf dimensions analytisch begründete Ansätze leicht die hin­ ter diesen Ansätzen stehende geistige Leistung und verführt zur Annahme, daß sich die Mühen neuer Erkenntnisse durch hastige, rezeptartige Anwendungen dimensionsana­ lytischer Methoden vermeiden ließen. Gescheiterte Ansätze und bittere Enttäuschun­ gen sind die Folge und einhergehend die Ablehnung dieser Methoden überhaupt. Der leichtfertige Umgang mit Dimensionsbetrachtungen wird durch Lehrbücher gefördert, die Rezepturen in den Vordergrund stellen und an (wohl bekannten) Beispielen zei­ gen, wie leicht, ans Wunderbare grenzend, sich physikalische Erkenntnisse von tiefer Bedeutung gewinnen lassen. Die formale Dimensionsanalyse kann aber aus einer Pro­ blemstellung nur die, für die Lösung unwichtige, Information entfernen, die über das Maßsystem eingetreten ist. Das stellt noch keine physikalische Erkenntnis dar. Daher kann die formale Durchführung der Dimensionsanalyse nicht im Vordergrund stehen, zumal diese fast trivial ist. Im Vordergrund steht vielmehr die Durchdringung der ge­ gebenen Fragestellung, die Abstraktion und Vereinfachung des Problems, die es erst gestattet, die relevanten physikalischen Größen zu erkennen und damit ihre Zahl auf das für die Beschreibung absolut notwendige Minimum zu beschränken. Erst dann ist eine Dimensionsanalyse sinnvoll, weil sie die notwendige Zahl der Veränderlichen wei­ ter reduziert. Aber dieser Satz der neuen Veränderlichen ist nicht eindeutig.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einführung in die Dimensionsanalyse

Zusammenfassung
Fragestellungen in der Physik und den Ingenieurwissenschaften betreffen Beziehungen zwischen physikalischen Größen, wobei wir vorläufig als bekannt voraussetzen, daß eine physikalische Größe durch Zahlenwert (Maßzahl) und Einheit gekennzeichnet ist (Fourier [1822]). Bei diesen Fragestellungen dreht es sich darum, den Zahlenwert einer gesuchten physikalischen Größe aus den Zahlenwerten gegebener physikalischer Größen zu berechnen. Im allgemeinen ist dabei die Funktion, welche die gesuchte Größe in Abhängigkeit der gegebenen Größen darstellt, nicht explizit bekannt, sondern wird meist erst nach erheblichem mathematischen Aufwand (etwa als Lösung von Differential- oder Integralgleichungen), häufig aber überhaupt nicht erhalten; sei es, weil die mathematischen Schwierigkeiten unüberwindbar oder die das Problem beschreibenden Gleichungen unbekannt sind.
Joseph H. Spurk

2. Illustrative Beispiele

Zusammenfassung
Wir kehren jetzt zum Widerstandsproblem der Kugel zurück, das auch durch den Zusammenhang (1.1) ausgedrückt wird, und bilden unter Verwendung des [LMT]-Systems die Dimensionsmatrix
Joseph H. Spurk

3. Modelltheorie

Zusammenfassung
Bei den meisten Fragestellungen, die eine experimentelle Ermittlung eines unbekannten Zusammenhangs erfordern, werden die notwendigen Experimente an einem Modell ausgeführt, dessen Abmessungen größer oder kleiner als die des Originals sind.
Joseph H. Spurk

4. Strömungsmaschinen

Zusammenfassung
Im folgenden soll das Betriebsverhalten von Strömungsmaschinen durch dimensionslose Produkte beschrieben werden. In der Regel läßt sich das Verhalten, selbst bei Anwendung aufwendiger numerischer Berechnungsverfahren, nicht genau genug vorhersagen, und man muß das Betriebsverhalten experimentell ermitteln. Die Zahl der hierzu notwendigen Versuche wird durch die dimensionslose Darstellung ganz erheblich reduziert, und in Verbindung mit der Modelltheorie können Ergebnisse, die an einer kleineren geometrisch ähnlichen Modellmaschine gewonnen wurden, auf größere Maschinen übertragen werden. Besonders bei hydraulischen Maschinen, wo das Strömungsmedium praktisch als inkompressibel betrachtet werden kann, hat sich die Dimensionsanalyse als sehr fruchtbar erwiesen. Die Zustandsgieichung reduziert sich hier nämlich auf die Feststellung, daß die Dichte eines Flüssigkeitsteilchens konstant ist, und meist ist die Dichte überhaupt konstant. Wenn außerdem die Viskosität als konstant angenommen werden kann, ergeben sich keine Einschränkungen der Ähnlichkeit als Folge der Zustandsgleichungen oder der Materialeigenschaften. Unter den genannten Umständen ist die Zahl der dimensionslosen Produkte ohnehin klein und da die Reynoldssche Zahl meistens schon so groß ist, daß die Verluste nur noch schwach von ihr abhängen, kann insbesondere im Modellwesen die Forderung gleicher Reynoldsscher Zahlen, d. h. die Reynolds-Ähnlichkeit, aufgegeben werden. Obwohl dann nur unvollständige Ähnlichkeit erreicht werden kann, läßt sich das Verhalten von hydraulischen Maschinen durch Modellversuche so genau vorhersagen, daß der Wirkungsgrad von Großausführungen garantiert wird.
Joseph H. Spurk

5. Gleitlager

Zusammenfassung
Es ist eine bekannte, wenn auch in der Öffentlichkeit wenig beachtete Tatsache, daß ein erheblicher Teil (etwa 30%) der weltweit produzierten Energie durch Reibung dissipiert wird und damit für mechanische Arbeit nicht mehr verfügbar ist. Aber nicht nur aus diesem Grund steht das Problem der Schmiermittelreibung im Interesse der Ingenieure, sondern genauso aus Gründen der Lebensdauer und Betriebssicherheit von Maschinen. Zur Entwicklung und wissenschaftlichen Durchdringung dieses Gebietes haben von Anfang an Dimensionsbetrachtungen einen entscheidenden Beitrag geleistet. Die theoretischen Grundlagen der hydrodynamischen Schmierung hat Reynolds [1886] mit der nach ihm benannten Reynoldsschen Gleichung gelegt, die sich aus den Navier-Stokesschen Gleichungen unter der grundlegenden Voraussetzung
$$\alpha \,Re\,\ll \,1;\,\alpha \,\ll\,1 $$
ergibt. Hierin ist α eine typische Neigung der Gleitflächen zueinander, und die Reynolds-Zahl ist gebildet mit der Höhe des Schmierspaltes.
Joseph H. Spurk

6. Turbulente Strömungen

Zusammenfassung
Aus den Anwendungen der Dimensionsanalyse auf Probleme der Strömungsmechanik ist die Bedeutung der Reynoldsschen Zahl hervorgetreten. Die Diskussion der Widerstandsgesetze hat gezeigt, daß in reibungsbehafteter, inkompressibler Strömung um geometrisch ähnliche Körper allein die Reynolds-Zahl das Strömungsverhalten bestimmt.
Joseph H. Spurk

7. Ähnlichkeitslösungen

Zusammenfassung
Die Diskussion der Scherströmungen, insbesondere der freien Scherströmung, hat gezeigt, wie die Dimensionsanalyse Ansätze für Ähnlichkeitslösungen liefern kann. Das sind Lösungen, die sich dadurch auszeichnen, daß die (primitiven) unabhängig Veränderlichen, z. B. x und r, sich zu nur einer neuen Veränderlichen η = x/r kombinieren, von der die noch unbekannt gebliebenen Funktionen allein abhängen (siehe z. B. (6.246), (6.247)). Man spricht allgemein von Ähnlichkeitslösungen, wenn sich bei mehreren unabhängig Veränderlichen eine Reduktion der unabhängig Veränderlichen ergibt. Bei nur zwei primitiven, unabhängig Veränderlichen hat diese Reduktion zur Folge, daß das Problem durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden kann. Um diese Reduktion zu erreichen, sind oft Überlegungen notwendig, die über die Dimensionsanalyse hinausgehen und Symmetrie oder, allgemeiner, Invarianzeigenschaften der Differentialgleichungen und der Randbedingungen einbeziehen. Wir betrachten zunächst die reibungsfreien Strömungen und beschränken uns hier auf die Fälle, die sich durch Dimensionsbetrachtungen alleine reduzieren lassen. Bei den später zu besprechenden reibungsbehafteten Strömungen werden dimensionsanalytische Aussagen schon deswegen unschärfer ausfallen müssen, weil als zusätzliche dimensionsbehafte Größe die Viskosität auftritt, so daß dann weitere Erwägungen in Betracht kommen.
Joseph H. Spurk

Backmatter

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