2. Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Das Kapitel widmet sich den direkten Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, die in vielen mathematischen und ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen von zentraler Bedeutung sind. Es beginnt mit einer Einführung in die Notwendigkeit, lineare Gleichungssysteme zu lösen, sei es in linearen Modellen, bei der Anpassung experimenteller Daten oder bei der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen. Der Fokus liegt auf dem Gauß'schen Eliminationsverfahren, das durch detaillierte Schritte und Beispiele erläutert wird. Dabei wird auch die Bedeutung der Pivotisierung zur numerischen Stabilität hervorgehoben. Ein weiterer zentraler Aspekt ist die LR-Zerlegung, die die Matrix in eine untere und obere Dreiecksmatrix zerlegt, um die Lösung zu vereinfachen. Zudem wird die Cholesky-Zerlegung für symmetrische, positiv definite Matrizen behandelt, die eine effizientere Berechnung ermöglicht. Das Kapitel schließt mit der Diskussion über den Rechenaufwand und die Konditionszahlen der Zerlegungen sowie der Anwendung auf tridiagonale Matrizen, die in der numerischen Lösung von Differentialgleichungen und Spline-Interpolation auftreten. Praktische Implementierungen in Programmen wie Octave und MATLAB runden die Darstellung ab und bieten dem Leser die Möglichkeit, die theoretischen Konzepte in der Praxis anzuwenden.