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Erschienen in:
2014 | OriginalPaper | Buchkapitel
Distributionen und Differentialoperatoren
verfasst von : Prof. Dr. Winfried Kaballo
Erschienen in: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Ein wesentliches Ziel der Funktionalanalysis ist die
Lösung von Gleichungen
, speziell von
Differential
- oder
Integralgleichungen
. In diesem Buch beschränken wir uns auf
lineare
Gleichungen. Seit der Mitte des 20. Jahrhunderts wurden sehr allgemeine und flexible Methoden zur Untersuchung partieller Differentialgleichungen entwickelt, die allerdings i. A. zunächst nur
schwache
Lösungen liefern. Dieses Konzept geht auf S.L. Sobolev (1938) zurück; um 1950 wurde es dann von L. Schwartz zur
Theorie der Distributionen
erweitert. In diesem Rahmen sind
alle lokal integrierbaren Funktionen differenzierbar
; dabei sind die Ableitungen i. A. keine Funktionen im klassischen Sinn, sondern
verallgemeinerte Funktionen
oder eben
Distributionen
. Der erste Teil des Buches enthält eine Einführung in die Theorie der Distributionen mit einigen Anwendungen auf die Lösung partieller Differentialgleichungen.