Dubbel

Inhaltsverzeichnis

1. Frontmatter

2. Mathematik

   1. Frontmatter

   2. A1. Mathematik für Ingenieure

      Peter Ruge, Nils Wagner

      Zusammenfassung

      Die hauptsächlichen Grundlagen der Ingenieurwissenschaften und damit auch die Mathematik im Maschinenbau liegen in dem Kompendium „Die Grundlagen – HÜTTE“ aus gleichem Hause in einer relativ ausführlichen Zusammenfassung vor. Deshalb sollen hier Hinweise zur Literatur und einige Anmerkungen zu neueren Entwicklungen und wesentlichen Aspekten ausreichen.

      Mathematik für Ingenieure, häufig auch Ingenieurmathematik genannt, ist keine Mathematik mit abgeminderten Qualitätsansprüchen, sondern eine Mathematik, von der man konkrete Lösungen für konkrete Probleme erwartet. Konkrete Lösungen sind häufig nur näherungsweise darstellbar; das ist kein grundsätzlicher Mangel, falls gesicherte Abschätzungen über den Fehler möglich sind. Die rasante Entwicklung der Leistungsfähigkeit moderner Computer eröffnet die Analyse immer komplexerer Problemfelder auch und gerade in den Ingenieurwissenschaften. Im interdisziplinären Spannungsfeld von Mathematik, Informatik, Ingenieur- und Naturwissenschaften entstanden neue Fachgebiete wie das Scientific Computing. Im Kern dieser Bemühungen stehen zum einen die Entwicklung leistungsfähiger numerischer Algorithmen; zum anderen aber auch Aussagen über Genauigkeit, Konvergenz und numerische Stabilität. Dies sind zutiefst mathematische Begriffe, die bis in die Funktionalanalysis führen.

   3. A2. Ergänzungen zur Höheren Mathematik

      Peter Ruge, Nils Wagner

      Zusammenfassung

      Klarere Definitionen alter mathematischer Begriffe, neue Ingenieuranwendungen auf der Basis der klassischen Analysis und die Einführung verallgemeinerter Zahlendarstellungen ergänzen immer wieder die mathematischen Hilfsmittel des Ingenieurs. Beispiele gibt es hierfür in der Beschreibung von Stoffgesetzen mit Gedächtnis über fraktionale Ableitungen und in der Zuschärfung des Dirac-Delta Formalismus über integral formulierte Distributionen.

      Selbst in der Algebra gibt es neue für den Ingenieur interessante Entwicklungen. So die Einführung der Intervallrechnung und die Weiterentwicklung zur Fuzzy-Algebra. In der Intervallarithmetik wird eine Zahl z nicht mehr nur durch einen einzigen diskreten Wert dargestellt, sondern durch ein Intervall mit einer unteren Schranke \(\underline z \) und einer oberen Schranke \(\bar z\).

      $$z = \left[ {\underline z \;,\;\bar z} \right]\;;\;\underline z \; \leqslant \;z\; \leqslant \;\bar z.$$

      (1)

      Auf dieser Menge werden Verknüpfungen definiert; so zum Beispiel die Subtraktion u − v : 

      $$u = \left[ {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{u} ,\bar u} \right];\;v = \left[ {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{v} ,\bar v} \right].\quad u - v = \left[ {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{u} - \bar v,\bar u - \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{v} } \right].$$

      (2)

   4. A3. Numerische Methoden

      Peter Ruge, Nils Wagner

      Zusammenfassung

      Von allen Teildisziplinen der Mathematik hatte in den letzten 30 Jahren die numerische Mathematik mit ihrer Realisierung auf programmierbaren Rechnern den mit Abstand größten Einfluß auf die Ingenieurwissenschaften. Universelle Lösungsstrategien wie die Finite Element Methode und hocheffektive Algorithmen erlauben die Behandlung von Problemen mit Millionen Freiheitsgraden. Analytische Verfahren treten dabei fast ganz in den Hintergrund und doch haben sie eine wesentliche Funktion bei der Kontrolle von Näherungsergebnissen. So können die Biegeeigenfrequenzen f [Hz] eines beidseitig frei drehbar unverschieblich gelagerten Bernoullibalkens nach Bild 1 als analytische Funktion der Ordnungszahl k angegeben werden.

      $$ f = \frac{k^2 \pi}{2}\sqrt{\frac{EI}{l^3 \rho Al}};\quad k = 1,{\ldots},\infty.$$

      (3)

      Zwei Standardaufgaben beherrschen die lineare Algebra und damit die Diskretisierung von Ingenieurproblemen: Das Gleichungssystem und das Eigenwertproblem:

      $$ \begin{aligned} \boldsymbol{Ax}&=\boldsymbol{r};\quad \boldsymbol{A},\boldsymbol{r}\ \text{gegeben;}\ \boldsymbol{x}\ \text{gesucht.} \\ \boldsymbol{Ax}&=\lambda\ \boldsymbol{Bx};\quad \boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\ \text{gegeben;}\ \lambda,\boldsymbol{x}\ \text{gesucht.} \end{aligned}$$

   5. Backmatter

3. Mechanik

   1. Frontmatter

   2. B1. Statik starrer Körper

      Joachim Villwock, Andreas Hanau

      Zusammenfassung

      Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht am starren Körper oder an Systemen von starren Körpern. Gleichgewicht herrscht, wenn sich ein Gebilde in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung befindet. Starre Körper im Sinne der Statik sind Gebilde, deren Deformationen so klein sind, dass die Kraftangriffspunkte vernachlässigbar kleine Verschiebungen erfahren.

      Kräfte sind linienflüchtige, auf ihrer Wirkungslinie verschiebbare Vektoren, die Bewegungs- oder Formänderungen von Körpern bewirken. Ihre Bestimmungsstücke sind Größe, Richtung und Lage (Bild 1 a).

      $$\begin{aligned}\boldsymbol{F} &= \boldsymbol{F}_x+\boldsymbol{F}_y+\boldsymbol{F}_z=F_x\boldsymbol{e}_x+F_y\boldsymbol{e}_y+F_z\boldsymbol{e}_z\\ &=(F\cos\alpha)\boldsymbol{e}_x+(F\cos\beta)\boldsymbol{e}_y+(F\cos\gamma)\boldsymbol{e}_z\:, \end{aligned}$$

      (1)

      wobei

      $$F=|\boldsymbol{F}| =\sqrt{F^2_x+F^2_y+F^2_z}\:.$$

      (2)

      Für die Richtungskosinusse der Kraft gilt \(\cos\alpha=F_x/F\), \(\cos\beta=F_y/F\), \(\cos\gamma=F_z/F\) sowie \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2{\gamma=1}\).

      Es gibt eingeprägte Kräfte und Reaktionskräfte sowie äußere und innere Kräfte. Äußere Kräfte sind alle von außen auf einen freigemachten Körper (s. B1.5) einwirkende Kräfte (Belastungen und Auflagerkräfte). Innere Kräfte sind alle im Inneren eines Systems auftretende Schnitt- und Verbindungskräfte.

   3. B2. Kinematik

      Joachim Villwock, Andreas Hanau

      Zusammenfassung

      Die Kinematik ist die Lehre von der geometrischen und analytischen Beschreibung der Bewegungszustände von Punkten und Körpern. Sie berücksichtigt nicht die Kräfte und Momente als Ursachen der Bewegung.

   4. B3. Kinetik

      Joachim Villwock, Andreas Hanau

      Zusammenfassung

      Die Kinetik untersucht die Bewegung von Massenpunkten, Massenpunktsystemen, Körpern und Körpersystemen als Folge der auf sie wirkenden Kräfte und Momente unter Berücksichtigung der Gesetze der Kinematik.

   5. B4. Schwingungslehre

      Joachim Villwock, Andreas Hanau

      Zusammenfassung

      Beispiele hierfür sind das Feder-Masse-System, das physikalische Pendel, ein durch Bindungen auf einen Freiheitsgrad reduziertes Starrkörpersystem (Bild 1). Zunächst werden nur lineare Systeme untersucht; bei ihnen sind die Differentialgleichungen selbst und die Koeffizienten linear. Voraussetzung dafür ist eine lineare Federkennlinie \(F_\mathrm{c}=cs\) (Bild 2 b).

   6. B5. Hydrostatik (Statik der Flüssigkeiten)

      Joachim Villwock, Andreas Hanau

      Zusammenfassung

      Flüssigkeiten und Gase unterscheiden sich im Wesentlichen durch ihre geringe bzw. starke Kompressibilität. Sie haben viele gemeinsame Eigenschaften und werden einheitlich als Fluide bezeichnet. Sie sind leicht verschieblich und nehmen jede äußere Form ohne wesentlichen Widerstand an; meist können sie als homogenes Kontinuum angesehen werden.

   7. B6. Hydro- und Aerodynamik (Strömungslehre, Dynamik der Fluide)

      Joachim Villwock, Andreas Hanau

      Zusammenfassung

      Aufgabe der Strömungslehre ist die Untersuchung der Größen Geschwindigkeit, Druck und Dichte eines Fluids als Funktion der Ortskoordinaten x, y, z bzw. bei eindimensionalen Problemen (z. B. Rohrströmungen) als Funktion der Bogenlänge s. Bei vielen Strömungsvorgängen ist die Kompression auch bei gasförmigen Fluiden vernachlässigbar (z. B., wenn Körper von Luft normaler Temperatur und weniger als 0,5facher Schallgeschwindigkeit umströmt werden). Dann gelten auch dafür die Gesetze inkompressibler Medien (Strömungen mit Änderung des Volumens s. D7.2).

   8. B7. Ähnlichkeitsmechanik

      Joachim Villwock, Andreas Hanau

      Zusammenfassung

      Die Ähnlichkeitsmechanik hat die Aufgabe, Gesetze aufzustellen, nach denen am (in der Regel verkleinerten) Modell gewonnene Versuchsergebnisse auf die wirkliche Ausführung (Hauptausführung) übertragen werden können. Modellversuche sind erforderlich, wenn eine exakte mathematisch‐physikalische Lösung eines technischen Problems nicht möglich ist, oder wenn es gilt, theoretische Grundlagen und Arbeitshypothesen in Versuchen zu bestätigen. Die Modellgesetze der Ähnlichkeitsmechanik bilden somit die Grundlage für das umfangreiche Versuchswesen in der Statik, Festigkeitslehre, Schwingungslehre, Strömungslehre, dem Schiffs- und Schiffsmaschinenbau, Flugzeugbau, Wasser- und Wasserturbinenbau, für wärmetechnische Probleme usw.

   9. Backmatter