Dynamische Systeme und Fraktale

Die ganze Geschichte, die Forscher in aller Welt heute so fasziniert, und die mit Begriffen wie “Chaos-Theorie” und “Experimentelle Mathematik” verbunden ist, begann unserer Wahrnehmung nach etwa 1983 in Bremen. Zu diesem Zeitpunkt wurde an der Universität Bremen eine Forschungsgruppe “Dynamische Systeme” unter der Leitung der Professoren Peitgen und Richter gegründet. Diesem Startpunkt ging ein mehrjähriger Aufenthalt von Mitgliedern der Forschungsgruppe im Computergrafiklabor der Universität Utah, USA, voraus.

Eines der spannendsten Experimente, an dem wir alle teilnehmen, führt die Natur mit uns selber durch. Dieses Experiment heißt Leben. Die Regeln sind vermutlich Naturgesetze, die Ausgangsstoffe sind chemischer Art und die Ergebnisse sind extrem vielfältig und erstaunlich. Und noch etwas fällt auf, wenn wir die Ausgangsstoffe und die Produkte vergleichen: jedes Jahr (jeder Tag, jedes Erdzeitalter) beginnt mit genau dem, was das vorige Jahr (Tag, Zeitalter) als Ausgangsweit für die nächste Entwicklungsstufe hinterlassen hat. Daß dabei eine Entwicklung möglich ist, kann man täglich beobachten.

Das Feigenbaum-Diagramm ist wegen der ästhetischen Qualität für uns ein Symbol geworden. Aus der angeblich so trockenen Mathematik entwickelt sich eine natürliche Form. Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen zwei Begriffen, die bisher unvereinbar schienen: Ordnung und Chaos, die sich nur durch einen Parameter unterscheiden. Beide sind tatsächlich zwei Seiten derselben Medaille. Alle nichtlinearen Systeme können diesen typischen Übergang zeigen. Man spricht allgemein von “Feigenbaum-Szenarios” (s.a.Kap.9).

In den vorigen Kapiteln sahen wir, was die mehr als 140 Jahre alte Verhulst- Formel vermag, wenn wir uns ihr mit modernen Computern nähern. Nun wollen wir den zentralen Begriffen “Selbstähnlichkeit” und “Chaos” auch im Zusammenhang mit zwei weiteren Klassikern der Mathematik auf der Spur bleiben. Dies ist das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung sowie die Gausssche Zahlenebene zur Darstellung der komplexen Zahlen.

Ein weiteres Mal wollen wir nun die Frage nach den Machtbereichen von Attraktoren aufwerfen. Wo müssen wir mit den Iterationen beginnen, um sicher bei einem bestimmten Attraktor zu landen? Die genaue Grenze zwischen den Einzugssphären soll nun untersucht werden. Wir verraten nicht zuviel, wenn wir sagen, daß sie unübersichtlich ist. Um wenigstens die Attraktoren von möglichst einfacher Gestalt zu bekommen, wählen wir eine Anordnung wie in Bild 5.1-1.

Bilder wie Sand am Meer. So verschieden oder so ähnlich wie der Sand sind die Grafiken, die wir mit den Methoden des vorigen Kapitels erzeugen können. Jede komplexe Zahl liefert ein anderes Bild, mal grundsätzlich, mal nur in Details von anderen unterschieden. Trotz der prinzipiellen Selbstähnlichkeit (oder gerade deswegen?) lauern in den Vergrößerungen weitere Überraschungen.

Hatten wir uns bisher nur in Ausnahmefällen mal von der Welt der Grundrisse (Mapping) fortbewegt, soll dieses Kapitel zeigen, wie die Ergebnisse der Iterationsberechnungen auch anders dargestellt werden können. Dabei soll nicht nur der bloße Effekt im Vordergrund stehen, auch für das Verständnis komplizierter Zusammenhänge können unterschiedliche grafische Darstellungen nützen. Wenn “ein Bild schon mehr als 1000 Worte sagt”, können zwei Bilder vielleicht Sachverhalte klarmachen, die sich mit Worten noch garnicht ausdrücken lassen.

Fraktale geometrische Gebilde sind uns in den letzten Kapiteln bei den JuliaMengen und dem Apfelmännchen dauernd begegegnet. Wir wollen jedoch nun langsam die Welt der dynamischen Systeme verlassen, die sich ja vor allem in den Feigenbaumdiagrammen, den Julia-Mengen und dem Apfelmännchen wiederspiegelt.

Bremer sind wettermäßig allerhand gewöhnt. Was sich allerdings im Sommer 1985 in Bremen abspielte, überstieg die sprichwörtliche Gelassenheit der meisten Bewohner. Am 24. Juli lief beim Wetteramt in Bremen das Telefon heiß. Erboste Anrufer beschwerten sich über die Wetterprognose, die sie morgens im “Weserkurier” gelesen hatten. Dort konnte man einen Tag später, am 25. Juli 1985, einen längeren Artikel über die sommerliche Wettersituation nachlesen: “Lottospieler erfahren zweimal in der Woche, ob sie einen Volltreffer gelandet haben oder wieder einmal total daneben getippt haben. Beim Gewinnspiel um das Bremer Wetter kann jetzt täglich gesetzt werden. Wer gestern beispielsweise die Vorhersage des Bremer Wetteramtes als Basis seines Einsatzes nahm, konnte ihn gleich in die Kaffetasse werfen. Statt ‘stark bewölkt und teilweise Regen bei Temperaturen um 19 Grad’ fand sich ein strahlend schöner Sommertag mit blauem Himmel und Bikinistimmung ein”.

Mit unseren letzten Experimenten fraktaler Computergrafiken und der Frage nach den allgemeinen Prinzipien der Chaos-Theorie, die heute noch weitgehend ungeklärt sind, wollen wir unsere computergrafischen Experimente in diesem Buch beenden. Das heißt nicht, daß das Experimentieren für Sie beendet ist. Im Gegenteil, vielleicht fängt es erst richtig an.

In den ersten acht Kapiteln haben wir Ihnen die interessanten Probleme vorgestellt und eine große Anzahl von Aufgaben formuliert, die Sie zu computergrafischen Experimenten anregen sollen. In den folgenden Teilen von Kapitel 11 sind die Lösungen der Aufgaben zum Teil als fertige Programme oder als Bausteine enthalten. Die Lösung, das komplette Pascalprogramm, erhält man durch Zusammenbau der angegebenen Bausteine, womit sich dann eine Vielzahl von grafischen Experimenten durchführen lassen.

In den folgenden Kapiteln wollen wir zeigen, wie jeweils die gleiche Grafik eines Feigenbaumdiagramms auf verschiedenen Rechnersystemen erzeugt werden kann. Das Feigenbaumdiagramm haben wir deshalb gewählt, weil die Erzeugung der Grafik nicht so lange dauert wie z.B. bei den Apfelmännchen. Wir werden im folgenden für eine Reihe von Rechnertypen, Betriebssystemen oder Programmiersprachen ein “Feigenbaum Referenzprogramm” angeben, aus dem Sie ersehen können, wie Sie Ihre Algorithmen in das jeweilige Musterprogramm einbetten können.

Vor allem bei den ersten Versuchen ist es sehr nützlich, wenn man auf Daten zurückgreifen kann, die interessante Ausschnitte versprechen. Außerdem kann man seine eigenen Programme daran überprüfen. Einige der interessantesten Julia-Mengen sind mit der Lage ihrer Parameter in der Mandelbrotmenge in einer Übersicht auf der vorigen Seite zusammengestellt.