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2024 | Buch

Ebene euklidische Geometrie

Algebraisierung, Axiomatisierung und Schnittstellen zur Schulmathematik

verfasst von: Max Hoffmann, Joachim Hilgert, Tobias Weich

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

In diesem Lehrbuch stellen die Autoren einen axiomatischen Zugang zur ebenen Geometrie dar, der im Vergleich zu den Hilbertaxiomen und anderen oft gewählten Zugängen strukturelle und didaktische Vorteile bietet. Dieser auf metrischen Räumen basierende Zugang wird ausführlich motiviert und didaktisch aufbereitet. Ein besonderes Augenmerk liegt auf der besseren Verzahnung der Mathematikausbildung der Lehramtsstudierenden mit dem Schulstoff. In Ergänzung des axiomatischen Zugangs erklären die Autoren auch, wie man sich der ebenen Geometrie mit Mitteln der linearen Algebra nähern kann und stellen so den Bezug zur analytischen Geometrie der Oberstufe her.

Als weitere Schnittstellen zwischen Schulmathematik und axiomatischer Geometrie werden die Begriffe Kongruenz und Symmetrie vertieft und so wichtigen Zusammenhänge zwischen den Begriffen Isometrie, Kongruenz und Symmetrie transparent gemacht und in schultypische Kontexte eingebettet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Ebene Geometrie durch die Brille der linearen Algebra

Frontmatter
Kapitel 1. Kongruenz, Spiegelung und SSS
Zusammenfassung
Wir betrachten geometrische Objekte als Mengen von Punkten, wobei jeder Punkt durch zwei reellwertige Koordinaten eindeutig festgelegt ist. Zur Visualisierung kann man diese Punkte entsprechend ihrer Koordinaten in bekannter Weise in ein kartesisches Koordinatensystem eintragen. Für komplexere geometrische Objekte (Strecken, Kreise, Geraden, \(\ldots \)) können die Punktmengen nicht explizit und aufzählend angegeben werden. Oft ist es aber möglich, sie durch einen bestimmten algebraischen Zusammenhang zu beschreiben, dem die Koordinaten der enthaltenen Punkte genügen müssen:
Max Hoffmann, Joachim Hilgert, Tobias Weich
Kapitel 2. Klassifikation der euklidischen Isometrien des
Zusammenfassung
Beim Beweis des Kongruenzsatzes SSS im letzten Kapitel haben wir Spiegelungen als Werkzeug benutzt, um die Kongruenz von zwei Dreiecken dadurch zu zeigen, dass die Dreiecke abstandserhaltend (isometrisch) ineinander überführt werden können. Abbildungen mit dieser Eigenschaft haben wir allgemein als euklidische Isometrien (Definition 1.2.1) bezeichnet und neben Spiegelungen als weitere Beispiele die Translationen (Beispiel 5.16) kennen gelernt. Ziel dieses Kapitels soll es sein, die euklidischen Isometrien des \(\mathbb {R}^2\) zu klassifizieren. Darauf aufbauend werden wir weitere Kongruenzphänomene untersuchen (Kap. 3) und uns später dem Konzept der Symmetrie (Kap. 7) widmen.
Max Hoffmann, Joachim Hilgert, Tobias Weich
Kapitel 3. Kongruenz
Zusammenfassung
Zum Abschluss des Teils über ebene Geometrie mit Mitteln der linearen Algebra wollen wir erneut auf das Thema Kongruenz eingehen. Zu Beginn von Kap. 1 haben wir Kongruenz mittels euklidischer Isometrien definiert (Definition 1.​2.​3) und bereits den Kongruenzsatz SSS bewiesen (Satz 1.​5.​1). Für die Beweise der anderen aus der Schule bekannten Kongruenzsätze für Dreiecke können wir auf den Überlegungen zur Klassifikation der euklidischen Isometrien aus Kap. 2 aufbauen.
Max Hoffmann, Joachim Hilgert, Tobias Weich

Axiomatische ebene Geometrie

Frontmatter
Kapitel 4. Geometrische Grundbegriffe in metrischen Räumen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel starten wir mit der Beschreibung eines Axiomensystems der ebenen Geometrie. Zur Beschreibung einfacher geometrischer Objekte wie Geraden und Kreisen benötigen wir nichts weiter als eine Menge, auf der wir den Abstand zwischen zwei Punkten kennen. Wir kennen dieses Konstrukt in der Mathematik unter dem Namen metrischer Raum. Auch der bereits im euklidischen Kontext in Teil I verwendete Begriff der Isometrie wird im folgenden eine Rolle spielen.
Max Hoffmann, Joachim Hilgert, Tobias Weich
Kapitel 5. Ebene neutrale Geometrie in metrischen Räumen
Zusammenfassung
In Kap. 4 haben wir gezeigt, dass bereits die Struktur eines metrischen Raumes ausreichend ist, um geometrische Objekte wie Kreise (Definition 4.​1.​1) und Geraden (Definition 4.​2.​4) zu definieren und mit diesen erste geometrische Überlegungen anzustellen.
Max Hoffmann, Joachim Hilgert, Tobias Weich
Kapitel 6. Vertiefungen zu neutralen Ebenen
Zusammenfassung
In Kap. 5 haben wir mit dem Axiomensystem der neutralen Ebene eine Axiomatisierung ebener Geometrie auf Grundlage metrischer Räume vorgestellt. Auf dieser Grundlage beschreiben wir in Abschn. III, wie durch Hinzufügen eines weiteren Axioms (dem Parallelenaxiom) die bekannte ebene euklidische Geometrie in bis auf Isomorphie eindeutiger Weise beschrieben werden kann.
Max Hoffmann, Joachim Hilgert, Tobias Weich
Kapitel 7. Symmetrie
Zusammenfassung
Bevor wir mit der Erläuterung des axiomatischen Aufbaus der ebenen euklidischen Geometrie fortfahren, machen wir in diesem Kapitel einen Exkurs zum Symmetrie-Begriff. Damit nehmen wir nach dem Kongruenz-Begriff (Kapitel) einen weiteren wichtigen Begriff der Schulgeometrie in den Blick.
Max Hoffmann, Joachim Hilgert, Tobias Weich

Das Parallelenaxiom: Geometrie in der euklidischen Ebene

Frontmatter
Kapitel 8. Parallelität in der neutralen Ebene
Zusammenfassung
Wir haben bis zu diesem Punkt im Buch den Begriff Parallelität bewusst ausgeklammert. In Abschnitt liefern wir diese Definition und erklären, warum wir in einer allgemeinen neutralen Ebene nicht sehr viel weitere Theorie auf Grundlage dieser Definition aufbauen können.
Max Hoffmann, Joachim Hilgert, Tobias Weich
Kapitel 9. Euklidische Ebenen
Zusammenfassung
Wir haben im vorigen Kapitel das Konzept der Parallelität eingeführt (Definition 8.1.1) und das Parallenaxiom Axiom 8.2.1 formuliert, um damit die sogenannten euklidischen Ebenen (Definition 8.2.2) von den hyperbolischen Ebenen (Definition 8.2.4) zu unterscheiden. Wir haben in Abschn. 8.3 bereits einige Schlaglichter auf die Geometrie der Poincaré-Halbebene (als Beispiel für eine hyperbolische Ebene, siehe auch Beispiel 5.2.2) geworfen. Die beiden abschließenden Kapitel sind der Untersuchung von euklidischen Ebenen gewidmet.
Max Hoffmann, Joachim Hilgert, Tobias Weich
Kapitel 10. Vertiefungen zu euklidischen Ebenen
Zusammenfassung
Wir schließen unsere Theorie euklidischer Ebenen mit zwei Vertiefungen: In Abschn.  widmen wir uns typischen Sätzen der ebenen euklidischen Geometrie. Dabei haben wir solche Sätze ausgewählt, die zum einen typische Inhalte des Mathematikunterrichts sind und zum anderen die Gemeinsamkeit haben, dass sie nicht in allgemeinen neutralen Ebenen gelten, sondern tatsächlich das Parallelenaxiom benötigen.
Max Hoffmann, Joachim Hilgert, Tobias Weich
Backmatter
Metadaten
Titel
Ebene euklidische Geometrie
verfasst von
Max Hoffmann
Joachim Hilgert
Tobias Weich
Copyright-Jahr
2024
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-67357-7
Print ISBN
978-3-662-67356-0
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-67357-7

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