Ebene Trigonometrie & Analytische Geometrie

Grundlagen und Anwendungen für Geodäsie, Kartographie und verwandte Disziplinen

verfasst von: Michael Jung

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis

Über dieses Buch

Das Lehrbuch gibt einen breiten Überblick über die mathematischen Grundlagen zur Lösung von Aufgabenstellungen aus der Geodäsie und der Kartographie. Behandelt werden beispielsweise:

die Durchführung von kartographischen Generalisierungsverfahren, geodätische Berechnungen in der Ebene auf der Basis von Dreiecksberechnungen.

Die erforderlichen Berechnungsformeln aus der ebenen Trigonometrie und der analytischen Geometrie werden anschaulich hergeleitet und deren Anwendung wird anhand zahlreicher Beispiele demonstriert.

Als eine weitere Anwendung der analytischen Geometrie in der Ebene und im Raum sowie der Matrizenrechnung werden Problemstellungen aus der Computergrafik betrachtet, z. B. wie geometrische Abbildungen mathematisch beschrieben werden können und welche Eigenschaften diese Abbildungen besitzen. Insbesondere werden Projektionen erklärt, welche bei der Abbildung der Erdoberfläche in die Ebene ihre Anwendung finden, so dass Sie einen ersten Einblick in die Thematik Kartennetzentwürfe erhalten.

Der Inhalt

Berechnungen bei Dreiecken und n-Ecken – Geraden in der Ebene und im Raum – Ebenen – Berechnungen bei Kreisen, Ellipsen, Quadern, Pyramiden – kartographische Generalisierungsverfahren – geodätische Berechnungen wie Bogen-, Vorwärts- und Rückwärtsschnitt sowie Höhen- und Entfernungsbestimmungen – mathematische Beschreibung geometrischer Abbildungen – Projektionen mit Anwendungen bei Kartennetzentwürfen

Die Zielgruppen

Studierende der Geodäsie, Kartographie und verwandter Disziplinen

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Ebene Trigonometrie

Zusammenfassung

In vielen Anwendungen der Geodäsie und Kartographie, wie z. B. bei Höhen- und Entfernungsberechnungen oder bei der Bestimmung der Lage von Objekten, sind Seiten bzw. Winkel von ebenen Dreiecken zu berechnen.

In diesem Kapitel stellen wir zuerst Eigenschaften ebener Dreiecke zusammen. Danach geben wir Formeln zur Berechnung der Seitenlängen und Winkel, des Flächeninhalts und Umfangs, der Höhen, der Länge der Seiten- und Winkelhalbierenden sowie des Radiusses des In- und Umkreises ebener Dreiecke an und begründen deren Gültigkeit. Dabei unterscheiden wir rechtwinklige Dreiecke, gleichschenklige Dreiecke, gleichseitige Dreiecke und allgemeine Dreiecke. Die gefundenen Berechnungsmöglichkeiten nutzen wir in diesem Kapitel und in den folgenden Kapiteln zur Lösung von Aufgabenstellungen aus der Geodäsie und Kartographie.

Am Ende dieses Kapitels besprechen wir überblicksartig Berechnungen in Vierecken sowie bei Prismen, Pyramiden und Pyramidenstümpfen.

Michael Jung

Kapitel 2. Analytische Geometrie in der Ebene

Zusammenfassung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Fragestellungen aus der analytischen Geometrie in der Ebene. Wir lernen verschiedene Möglichkeiten zur mathematischen Beschreibung von Geraden kennen und diskutieren das Schnittverhalten von Geraden sowie Abstands- und Lageprobleme von Geraden und Punkten. Als Anwendungsbeispiele werden wir im Kapitel 3 Generalisierungsverfahren in der Kartographie und im Abschnitt 5.3.6 Probleme der Flurstücksteilung betrachten.

Wir erläutern, wie man Kreise, Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln mathematisch beschreiben kann und lernen die Größen kennen, durch welche diese geometrischen Objekte charakterisiert werden. Wir beschreiben, wie man Tangenten an Kreise und Ellipsen berechnen und konstruieren kann. Außerdem geben wir Beziehungen zwischen Winkeln in Kreisen an und erklären, warum diese gelten. Die vorgestellten Beziehungen und Rechenformeln nutzen wir beispielsweise zur Begründung von Algorithmen zur Absteckung von Kreisbögen. Kenntnisse über Ellipsen benötigt man auch bei der Beschreibung von Rotationsellipsoiden, welche durch Rotation von Halbellipsen um Symmetrieachsen der Ellipsen entstehen. Rotationsellipsoide nutzt man zur Annäherung des Geoids. Für die Einführung ellipsoidischer Koordinaten sind ebenfalls Kenntnisse über Ellipsen erforderlich. Mit Hilfe dieser Koordinaten kann man die Lage von Punkten auf einem Rotationsellipsoid beschreiben (siehe Lehmann [2023], Gruber und Joeckel [2020], Jung [2026]).

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Kapitel 3. Kartographische Generalisierungsverfahren

Zusammenfassung

Als eine Anwendung der analytischen Geometrie in der Ebene betrachten wir in diesem Kapitel kartographische Generalisierungsverfahren. Dabei geht es um die folgende Problemstellung. Längs einer Straße oder eines Flusses seien von bestimmten Punkten die Koordinaten bekannt. Es soll der Straßen- bzw. Flussverlauf auf einer Karte graphisch dargestellt werden. Um den Rechenaufwand bei der Datenaufbereitung am Computer zu verringern und damit die Rechenzeit für die Erzeugung einer entsprechenden Karte so niedrig wie möglich zu halten, möchte man meistens die vorhandene Datenmenge, d. h. die Menge der gegebenen Punkte, reduzieren. Natürlich sollen nur diejenigen Punkte nicht in die graphische Darstellung mit einbezogen werden, welche für den charakteristischen Verlauf der Straße oder des Flusses keine große Bedeutung haben. Die Auswahl dieser Punkte soll weitestgehend automatisch, d. h. mittels eines Computerprogramms, erfolgen. Zum Erreichen dieses Ziels gibt es eine Reihe von Algorithmen, sogenannte Generalisierungsverfahren. Wir stellen einige aus der Literatur bekannte Verfahren vor und diskutieren deren Vor- und Nachteile.

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Kapitel 4. Analytische Geometrie im Raum

Zusammenfassung

Nachdem wir uns im Kapitel 2 mit der analytischen Geometrie in der Ebene beschäftigt haben, ist das Thema dieses Kapitels die analytische Geometrie im Raum.

Wir geben Möglichkeiten zur mathematischen Beschreibung von Geraden im Raum und von Ebenen an. Außerdem diskutieren wir das Schnittverhalten von Geraden und Ebenen sowie die Berechnung des Abstands von Punkten, Geraden und Ebenen. Derartige Kenntnisse benötigen wir beispielsweise, wenn dreidimensionale Objekte in eine Ebene abgebildet werden sollen. Dies ist eine wichtige Grundaufgabe in der Computergraphik, bei Kartennetzentwürfen und in der Photogrammetrie. Einige Anwendungen dazu stellen wir im Kapitel 6 vor.

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Kapitel 5. Koordinatensysteme und Koordinatentransformationen mit Anwendungen bei geodätischen Berechnungen

Zusammenfassung

In den Kapiteln 2 und 4 haben wir bereits kartesische Koordinatensysteme zur Beschreibung der Lage von Punkten sowie bei der Beschreibung von Geraden, Kreisen, Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln und Ebenen genutzt. In diesem Kapitel führen wir noch weitere Koordinatensysteme ein und erläutern, wie man mathematisch den Übergang von einem zu einem anderen Koordinatensystem beschreiben kann. Hierbei betrachten wir z. B. Verschiebungen und Drehungen von Koordinatensystemen.

Weiterhin führen wir Koordinatensysteme in der Ebene ein, welche in der Geodäsie genutzt werden und wir diskutieren, wie man die Koordinaten von Punkten ausgehend von Entfernungs- und Winkelmessungen mittels polarem Anhängen, Bogen-, Vorwärts- und Rückwärtsschnitt berechnen kann.

Am Ende dieses Kapitels beschäftigen wir uns noch mit Flächenteilungen, d. h. der Teilung von Dreiecken und allgemein von Polygonen (n-Ecken). Flächenteilungen spielen beispielsweise bei der Aufteilung von Flurstücken eine Rolle.

Michael Jung

Kapitel 6. Anwendungen der analytischen Geometrie in der Computergraphik und bei Kartennetzentwürfen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit weiteren Anwendungen der analytischen Geometrie. Wir erklären, wie man geometrische Abbildungen (Verschiebungen, Spiegelungen, Drehungen) mit Hilfe von Matrix-Vektor-Operationen beschreiben kann und wir diskutieren besonders Projektionen von dreidimensionalen Objekten in eine Ebene.

Solche Projektionen nutzt man beispielsweise bei der Abbildung der Erde in eine Ebene, um Karten von Gebieten auf der Erde anzufertigen. Im Abschnitt 6.2 leiten wir die entsprechenden Abbildungsgleichungen her und geben damit einen kleinen Einblick in die Thematik Kartennetzentwürfe.

Michael Jung

Backmatter

Titel: Ebene Trigonometrie & Analytische Geometrie
verfasst von: Michael Jung
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-03262-3
Print ISBN: 978-3-658-03261-6
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-03262-3