Eigenwerte und Eigenvektoren – oder wie man Matrizen diagonalisiert

Ein rotierender Körper ohne äußere Kräfte verbleibt in seiner Bewegung, wenn er um seine Symmetrieachse rotiert. Dann liegen nämlich Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit auf einer Achse. Stört man den Körper jedoch, indem man ihn anstößt, bleibt zwar weiterhin der Drehimpuls konstant, da aber die Symmetrieachse und damit die Hauptträgheitsachse durch die Rotation verdreht werden, ändert auch die Winkelgeschwindigkeit permanent ihre Richtung. Der Körper fängt an zu nicken. Diese als Nutation bezeichnete Bewegung lässt sich berechnen. Denn man erhält die Hauptträgheitsachsen eines Körpers als Eigenvektoren des zugehörigen Trägheitstensors. Er ist eine symmetrische Matrix.Der Trägheitstensor kann wie jede quadratische Matrix als eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung aufgefasst werden. Der Wunsch nach einer besonders einfachen Darstellungsmatrix dieser linearen Abbildung führt auf die Frage, welche Vektoren auf skalare Vielfache von sich selbst abgebildet werden. Man nennt solche Vektoren Eigenvektoren der linearen Abbildung. Wenn eine Basis aus Eigenvektoren existiert, so ist die Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basis eine Diagonalmatrix – im Fall des Trägheitstensors sind die Hauptträgheitsachsen dann eine Basis aus Eigenvektoren.Aber nicht zu jeder Matrix existiert eine Basis aus Eigenvektoren. Jedoch lässt sich zeigen, dass eine solche Basis aus Eigenvektoren stets dann existiert, wenn die Matrix symmetrisch ist.