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Erschienen in:
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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

7. Eigenwerte und Normalformen

verfasst von : Dirk Werner

Erschienen in: Lineare Algebra

Verlag: Springer International Publishing

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Auszug

In diesem Kapitel werden wir das Eigenwertproblem für lineare Abbildungen und Matrizen detailliert studieren. Aus Abschn. 4.​4 wissen wir bereits, dass die Eigenwerte genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind. Dort hatten wir den Körper \({\mathbb R}\) zugrundegelegt, aber in Abschn. 5.​1 wurde beobachtet, dass diese Aussage für Vektorräume über beliebigen Körpern gilt, allerdings muss man hier beim Begriff des Polynoms Vorsicht walten lassen; Letzteres wurde in Abschn. 5.​2 erklärt. …

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Fußnoten
1
Aus ab = 0 und b ≠ 0 folgt a = 0.
 
2
Diese Aufforderung ist insofern unbefriedigend, als sie nicht erklärt, wie man auf diese Nullstelle kommt. Wer aus der Analysis die Polarzerlegung komplexer Zahlen kennt, weiß jedoch den Lösungsweg.
 
3
Hier und weiter oben haben wir den binomischen Satz benutzt, den Sie aus der Analysis für Potenzen von Zahlen (x + y)n kennen. Im Beweis der binomischen Entwicklung gehen aber nur die Rechenregeln eines kommutativen Rings ein; daher hat man für kommutierende Elemente eines Rings bzw. einer Algebra dieselbe Summendarstellung. (In einem Ring bedeutet k ⋅ r die k-fache Summe r + ⋯ + r eines Ringelements r.)
 
4
Der Index 0 soll andeuten, dass jetzt in (7.5.9) auf der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen.
 
5
Da λ und \({\overline {\lambda }}\) linear unabhängige Eigenvektoren haben (Lemma 7.2.6), sind v und \({\overline {v}}\) und deshalb auch v1 und v2 linear unabhängig.
 
6
Diese Beweisstrategie folgt H. Derksen, The fundamental theorem of algebra and linear algebra. Amer. Math. Monthly 110 (2003), 620–623.
 
7
Diesen Namen kennen Sie vom Steinitzschen Austauschsatz, Satz 2.​2.​14.
 
Metadaten
Titel
Eigenwerte und Normalformen
verfasst von
Dirk Werner
Copyright-Jahr
2022
Buch
Lineare Algebra

Print ISBN: 978-3-030-91106-5

Electronic ISBN: 978-3-030-91107-2

Copyright-Jahr: 2022

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-030-91107-2_7