Einblicke in die euklidische und nichteuklidische Geometrie

Verständlich erklärt vom Abiturniveau aus

verfasst von: Jürgen Wagner

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Buch thematisiert wesentliche Grundlagen der euklidischen Geometrie sowie mehrerer nichteuklidischer Geometrien und unterstützt damit Studierende der Mathematik, Physik, Astronomie, Geografie, Geodäsie und Nautik. Von den vielfältigen Bezügen zwischen ausgewählten Inhalten der euklidischen Geometrie, Taxi-Geometrie, projektiven, sphärischen und hyperbolischen Geometrie profitieren auch Studierende des Lehramtes Mathematik. Es erleichtert insbesondere die Einarbeitung in Fragestellungen der synthetischen Geometrie, speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie, Astrometrie, Kartenentwürfe und Navigation.Kennzeichnende Merkmale dieses Buches sind seine Anbindung an schulische Vorkenntnisse sowie die Verdeutlichung von Begriffsbildungen und Vorgehensweisen durch verständnisfördernde Hintergrundinformationen, viele Abbildungen, ausführlich vorgerechnete Beispiele und detailliert beschriebene Konstruktionen. Wegen dieser didaktischen Konzeption eignet sich das Buch hervorragend zur Begleitung der Lehrveranstaltungen an der Hochschule, indem es die übliche algebraische Darstellung auf hohem Abstraktionsniveau „mit Leben erfüllt“ und verständlich macht. Die Besonderheit des Buches liegt darin, dass der Autor den Mut aufgebracht hat, auf einen vollständigen synthetischen Aufbau der angesprochenen Geometrien zugunsten von Querverbindungen zwischen ihnen zu verzichten. Um den Rahmen des Buches nicht zu sprengen und die Übersicht zu wahren, werden Beweise dann geführt, wenn es sich um zentrale Sätze handelt oder wenn typische Vorgehensweisen verdeutlicht werden können.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Euklidische Geometrie

Zusammenfassung

Im ersten Kapitel werden die Vorkenntnisse zur euklidischen Geometrie aus dem Mathematikunterricht der Schule bedeutend erweitert, um die typische Denkweise dieser Geometrie zu erschließen sowie zentrale Begriffe und Sätze zu ergänzen, auf die in den folgenden Kapiteln zurückgegriffen wird. Insbesondere die Definitionen des Teil- und Doppelverhältnisses für orientierte Strecken und orientierte Winkel erlangen eine übergreifende Bedeutung. Beim Beweisen von Sätzen werden unterschiedliche Herangehensweisen gewählt. In der Tradition Euklids werden einige Konstruktionsaufgaben gelöst, die über das in der Schule übliche Niveau deutlich hinausgehen. Es werden die geometrischen Eigenschaften von Parallelprojektionen, Axonometrien, affinen und projektiven Abbildungen erarbeitet. Die analytische Beschreibung der Komposition (Nacheinanderausführung) affiner Abbildungen erfolgt mit homogenen Koordinaten, um Rechenvorteile zu erlangen.

Jürgen Wagner

Kapitel 2. Taxi-Geometrie

Zusammenfassung

Das zweite Kapitel widmet sich der Taxi-Geometrie, welche die einfachste nichteuklidische Geometrie darstellt. In der Taxi-Geometrie sind mit sehr geringem Aufwand verblüffende Entdeckungen möglich. Insbesondere die Betrachtungen zu parallelen Geraden, Mittelsenkrechten und Kreisen im Rahmen der Taxi-Geometrie zeigen die Übereinstimmung zur euklidischen Geometrie in begriffsbestimmenden Merkmalen, obwohl diese geometrischen Objekte nicht nur „anders aussehen“ als gewohnt, sondern auch abweichende Eigenschaften besitzen. Die kontrastierenden Beispiele zur euklidischen Geometrie fördern die Flexibilität des Denkens und das Begriffsverständnis. Auf diese Weise führt die Beschäftigung mit der Taxi-Geometrie zum besseren Begreifen der entsprechenden Inhalte der euklidischen Geometrie.

Jürgen Wagner

Kapitel 3. Projektive Geometrie

Zusammenfassung

Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit Inhalten der projektiven Geometrie. Mit Betrachtungen zur endlichen Geometrie und zur Zentralprojektion werden unterschiedliche Zugänge zur projektiven Geometrie dargestellt, die zu einer Vertiefung des Wissens über Axiomensysteme und Abbildungen beitragen. Die Erarbeitung der Eigenschaften der Zentralprojektion erfolgt vor dem Hintergrund ihrer Anwendung in Architektur und bildender Kunst. Repräsentanten von projektiven Punkten werden analytisch durch homogene Koordinaten beschrieben, die auch die Unterscheidung zwischen eigentlichen Punkten und Fernpunkten ermöglichen. Es werden mehrere Modelle der projektiven Geometrie thematisiert und Maße für Längen und die Größe von Winkeln ermittelt. Dabei werden komplexe Koordinaten eingeführt und geometrische Sachverhalte mithilfe von Determinanten beschrieben. Mit diesen Betrachtungen werden Inhalte der Hochschulausbildung vorbereitet.

Jürgen Wagner

Kapitel 4. Sphärische Geometrie

Zusammenfassung

Das vierte Kapitel zur sphärischen Geometrie thematisiert Inhalte, die teilweise seit einigen Jahrhunderten bekannt waren, aber in der Vergangenheit nicht als nichteuklidisch interpretiert wurden. Wichtige Formeln der sphärischen Trigonometrie werden auf unterschiedlichen Wegen hergeleitet. Es wird erarbeitet, dass die Berechnung eines kleinen sphärischen Dreiecks näherungsweise durch die eines ebenen Dreiecks möglich ist. Diese lokale Approximation einer nichteuklidischen Geometrie durch die euklidische Geometrie wird in unterschiedlichen Kontexten der Hochschulmathematik aufgegriffen. Die Anwendungen der Formeln der sphärischen Trigonometrie führen zu ausgewählten Inhalten der Astronomie, Nautik und Kartografie. Dabei ergeben sich Anforderungen zur Transformation von Koordinaten auf natürliche Weise.

Jürgen Wagner

Kapitel 5. Hyperbolische Geometrie

Zusammenfassung

Im fünften Kapitel wird mit der hyperbolischen Geometrie diejenige Geometrie angesprochen, die als erste nichteuklidische Geometrie erkannt wurde. Es werden die interessante Entstehungsgeschichte der hyperbolischen Geometrie und mehrere ihrer Modelle vorgestellt. Das Halbebenenmodell von Poincaré wird ausführlicher betrachtet, da es das Modell ist, welches bei Konstruktionen und Berechnungen ohne Hilfsmittel mit vertretbarem technischem Aufwand angewendet werden kann. Im Anhang zu diesem Kapitel werden Hyperbeln und Hyperbelfunktionen in Analogie zu Kreisen bzw. trigonometrischen Funktionen thematisiert. Mit dieser Ergänzung soll der Einstieg in die Hochschulmathematik erleichtert werden.

Jürgen Wagner

Backmatter

Titel: Einblicke in die euklidische und nichteuklidische Geometrie
verfasst von: Jürgen Wagner
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-54072-5
Print ISBN: 978-3-662-54071-8
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-54072-5