20. Eine Einführung in parabolische PDEs

In diesem Kapitel wird ein knapper Überblick über grundlegende Ergebnisse zur Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Cauchy-Problems für parabolische partielle Differentialgleichungen gegeben. Es werden klassische Referenztexte wie Friedman, Ladyzhenskaia, Solonnikov und Ural’tseva sowie Oleinik und Radkevic erwähnt, die eine umfassendere und tiefgreifendere Behandlung bieten. Der Text betrachtet einen partiellen Differentialoperator zweiter Ordnung und untersucht die Eindeutigkeit der Lösung des Cauchy-Problems unter verschiedenen Annahmen. Es wird gezeigt, dass unter bestimmten Bedingungen eine Eindeutigkeitsklasse durch Funktionen gegeben ist, die nicht zu schnell gegen Unendlich streben. Zudem wird das Maximumprinzip und das Vergleichsprinzip diskutiert, die für die Eindeutigkeit der Lösung entscheidend sind. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der Existenz der Fundamentallösung, die durch die Parametrix-Methode konstruiert wird. Diese Methode ist komplex und basiert auf geeigneten Abschätzungen mit Gaußschen Funktionen und der Untersuchung singulärer Integrale. Das Hauptergebnis des Kapitels ist das Theorem 20.2.5, das neben der Existenz und Dichte-Eigenschaft auch einen Vergleich zwischen der Fundamentallösung und der Gaußschen Funktion liefert. Zudem wird die Chapman-Kolmogorov-Eigenschaft und die Duhamel-Formel für die Lösung des inhomogenen Cauchy-Problems behandelt. Das Kapitel schließt mit wichtigen Merksätzen und einer Zusammenfassung der Hauptnotationen, die in diesem Kapitel verwendet oder eingeführt werden.