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2023 | Buch

Eine Entdeckungsreise in die Welt des Unendlichen

Die Grundlagen der Mathematik von der Antike bis in die Neuzeit

verfasst von: Lorenz Halbeisen, Regula Krapf

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Das Buch nimmt die Leserschaft mit auf eine Entdeckungsreise in die Welt des Unendlichen. Es wird aufgezeigt, wie das Unendliche von der Antike bis in die Neuzeit immer wieder Quell der Inspiration war, um die Mathematik auf feste Grundlagen zu stellen. Von der Entdeckung der irrationalen Zahlen in der Antike führt das Buch über Dedekinds Konstruktion der reellen Zahlen sowie Cantors und Zermelos Mengenlehre bis zum Banach-Tarski-Paradoxon und Conways spielerischer Konstruktion der surreellen Zahlen.


Die Entdeckung, dass sich nicht jedes Verhältnis von zwei Streckenlängen als Verhältnis ganzer Zahlen ausdrücken lässt, hat gezeigt, dass sich nicht jede reelle Zahl durch einen endlichen Term ausdrücken lässt, sondern dass es dazu etwas Unendliches braucht. Solch eine Darstellung wurde aber erst zwei Jahrtausende später durch Dedekind gefunden. Kurze Zeit nach Dedekinds Konstruktion der reellen Zahlen hat Cantor eine Theorie entwickelt, die Mengenlehre, in der mit verschiedenen Unendlichkeiten gerechnet werden kann. Diese Theorie wurde später von Zermelo auf ein axiomatisches Fundament gestellt, auf dem die moderne Mathematik aufgebaut ist.

Die Reise wird immer wieder aufgelockert durch zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben, welche dabei helfen, den Text zu verstehen. Die Voraussetzungen sind so gewählt, dass das Buch bereits für Studierende mit geringen Vorkenntnissen zugänglich ist. Entstanden im Rahmen einer Vorlesung fürs Lehramt, richtet sich dieses Buch ganz besonders auch an Lehramtsstudierende.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Unendlichkeit in der Antike
Zusammenfassung
Die Behandlung des Unendlichen in der Mathematik findet ihren Ursprung bereits in der Antike. So hat Euklid in den „Elementen“ gezeigt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Mit dem Goldenen Schnitt und der Wurzel aus 2 wurden auch bereits erste irrationale Zahlen entdeckt. Darüber hinaus wird in diesem Kapitel der Euklid’sche Algorithmus vorgestellt, welcher in späteren Kapiteln eine wichtige Rolle einnimmt.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 2. Konstruktion der reellen Zahlen
Zusammenfassung
Dieses Kapitel befasst sich mit der Konstruktion reeller Zahlen. Während bei der üblichen Konstruktion von Dedekind’schen Schnitten entweder zunächst nur positive reelle Zahlen konstruiert werden oder viele Fallunterscheidungen benötigt werden, wird hier eine neue Herangehensweise an Dedekind’sche Schnitte betrachtet, welche inspiriert ist von John Conways Konstruktion der surreellen Zahlen.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 3. Irrationalität und Transzendenz
Zusammenfassung
Irrationale Zahlen sind solche, die sich nicht als endliche oder periodische Dezimalbrüche darstellen lassen – sie sind damit gewissermaßen unendliche Zahlen. In diesem Kapitel wird gezeigt, dass die beiden Konstanten e und π irrational sind und es wird gezeigt, wie sich irrationale Zahlen als Kettenbrüche darstellen lassen. Manche irrationale Zahlen wie beispielsweise \(\sqrt 2\) sind Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten; solche irrationalen Zahlen nennt man algebraisch. Neben den algebraischen Zahlen werden in diesem Kapitel auch transzendente Zahlen wie e und die Liouville’sche Zahlen untersucht.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 4. Unendliche Mengen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden unterschiedliche Möglichkeiten aufgezeigt, wie man „Endlichkeit“ bzw. „Unendlichkeit“ mathematisch definieren kann. Außerdem werden klassische Sätze der Cantor’schen Mengenlehre wie die beiden Diagonalargumente über die Abzählbarkeit der rationalen und die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen präsentiert. Mit dem Calkin-Wilf-Baum wird außerdem mithilfe einer rekursiven Folge eine Abzählung der Menge der rationalen Zahlen konstruiert.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 5. Gleichmächtigkeit
Zusammenfassung
Der Begriff der „Gleichmächtigkeit“ ermöglicht es, die Größe unendlicher Mengen miteinander zu vergleichen. Als erstes Ergebnis wird der Beweis Georg Cantors zur Gleichmächtigkeit von ℝn und ℝ vorgeführt. Der zentrale Satz dieses Kapitels ist der Satz von Cantor-Bernstein, welcher besagt, dass zwei Mengen gleichmächtig sind, falls es von jeder der Mengen in die jeweils andere eine Injektion gibt. Dieser Satz hat zahlreiche Anwendungen, welche ebenfalls untersucht werden.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 6. Kardinalitäten und Wohlordnungen
Zusammenfassung
Der Ausgangspunkt dieses Kapitels ist der Satz von Cantor, welcher zeigt, dass es beliebig große Mächtigkeiten unendlicher Mengen gibt. Cantor verallgemeinert die Mengen der natürlichen Zahlen auf zwei Weisen ins Unendliche: Einerseits durch Kardinalitäten, welche Aufschluss über die Mächtigkeit einer Menge geben und andererseits durch Wohlordnungstypen, mit welchen man im Unendlichen weiterzählen kann. Beide Begriffe werden in diesem Kapitel so eingeführt, wie dies Cantor gemacht hat, d.h. ohne einen axiomatischen Mengenbegriff.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 7. Das Auswahlaxiom
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird – der historischen Entwicklung folgend – das Auswahlaxiom als erstes Axiom der Mengenlehre eingeführt. Das Auswahlaxiom wird für viele grundlegende Aussagen verwendet, so beispielsweise um zu zeigen, dass abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen selbst abzählbar sind. Als weitere Anwendung wird mit dem Lemma von Kőnig bewiesen, dass jeder unendliche, endlich verzweigte Baum einen endlichen Pfad besitzt. Zudem werden Anwendungen des Auswahlaxioms in der Unterhaltungsmathematik vorgestellt.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 8. Das Banach-Tarski-Paradoxon
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird gezeigt, dass sich mithilfe des Auswahlaxioms jeder beschränkte Körper, zum Beispiel ein Würfel, so in endlich viele Teile zerlegen lässt, dass sich daraus ein beliebiger anderer Körper, zum Beispiel eine Kugel, zusammen setzen lässt.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 9. Axiome der Mengenlehre
Zusammenfassung
Das von Zermelo formulierte Auswahlaxiom war zunächst sehr umstritten. Um sein Axiom zu rechtfertigen, führte Zermelo ein Axiomensystem für die Mengenlehre (und damit die gesamte Mathematik) ein, welches in der heutigen erweiterten Form dem Axiomensystem ZFC entspricht. Dieses Kapitel beschreibt die einzelnen Axiome von ZFC und deren Anwendungen.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 10. Ordinalzahlen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird der Begriff der Wohlordnungstypen mit den sogenannten Ordinalzahlen präzisiert und auf ein solides mengentheoretisches Fundament gesetzt. Die Ordinalzahlen ermöglichen ein Zählen im Unendlichen und mit der Ordinalzahlarithmetik kann man Rechenoperationen einführen, die diejenigen auf den natürlichen Zahlen erweitern, aber nicht denselben Rechengesetzen folgen. Außerdem werden mit dem Wohlordnungssatz und dem Teichmüllerprinzip zwei zentrale äquivalente Formen des Auswahlaxioms präsentiert, für deren Beweis Ordinalzahlen verwendet werden.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 11. Kardinalzahlen
Zusammenfassung
Kardinalzahlen lassen sich als besondere Ordinalzahlen definieren, für die es keine kleineren gleichmächtigen Ordinalzahlen gibt. Mithilfe der Kardinalzahlen lässt sich die Mächtigkeit von wohlgeordneten Mengen vergleichen. Auch mit Kardinalzahlen kann man rechnen; es handelt sich aber nicht um dieselbe Arithmetik wie für Ordinalzahlen. Besonders faszinierend ist die Frage nach der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen: Die sogenannte Kontinuumshypothese, welche besagt, dass ℝ die kleinste überabzählbare Kardinalität besitzt, stellt sich als unabhängig von den anderen Axiomen der Mengenlehre heraus.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 12. Modelle der Mengenlehre
Zusammenfassung
Dieses Kapitel befasst sich mit Modellen von ZFC und Varianten davon. Mit der kumulativen Hierarchie wird eine hierarchische Struktur des Mengenuniversums konstruiert. Es wird auch ein Modell der erblich endlichen Mengen, d.h. Mengen, die endlich sind und deren Elemente wiederum erblich endlich sind, betrachtet und Zusammenhänge zur Graphentheorie untersucht. Außerdem werden auch Modelle der Mengenlehre mit Atomen, d.h. mit von der leeren Menge verschiedenen Mengen ohne Elemente, betrachtet.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 13. Permutationsmodelle
Zusammenfassung
Permutationsmodelle sind Modelle der Mengenlehre mit Atomen, in denen das Auswahlaxiom falsch ist, gewisse abgeschwächte Formen des Auswahlaxioms aber immer noch gelten. In diesem Kapitel wird gezeigt, wie man Permutationsmodelle mithilfe von Symmetriegruppen konstruiert. Mit dem Zweiten Fraenkelschen Modell wird ein Beispiel für ein Permutationsmodell betrachtet, in welchem eine abzählbare Vereinigung von 2-elementigen Mengen überabzählbar ist.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 14. Der Satz von Ramsey
Zusammenfassung
Ausgangspunkt für dieses Kapitel ist das folgende kombinatorische Problem, welches ein Spezialfall ist vom Satz von Ramsey: Färbt man alle zwei-elementigen Teilmengen der Menge der natürlichen Zahlen mit zwei Farben, so stellt sich die Frage, ob es eine unendliche Menge von natürlichen Zahlen gibt, deren zwei-elementige Teilmengen allesamt die gleiche Farbe haben. Neben dem Satz von Ramsey werden auch Anwendungen wie der Satz von Erdős-Szekerés und Verallgemeinerungen untersucht.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 15. Spiele und Gewinnstrategien
Zusammenfassung
Betrachtet man endliche kombinatorische Zweipersonenspiele wie beispielsweise das Nim-Spiel, so besitzt immer eine der Personen eine Gewinnstrategie, die unabhängig von der Spielweise des Gegners einen Sieg ermöglicht. Für gewisse unendliche Spiele lässt sich dieses Ergebnis übertragen, allerdings lassen sich mithilfe des Auswahlaxioms auch unendliche Spiele konstruieren, für die es keine Gewinnstrategie ist.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 16. Determiniertheit unendlicher Spiele
Zusammenfassung
Als Alternative zum Auswahlaxiom wir das Axiom der Determiniertheit eingeführt, welches eine Gewinnstrategie für jedes unendliche Zweipersonenspiel garantiert. Das Determiniertheitsaxiom und das Auswahlaxiom schließen sich allerdings gegenseitig aus. Anschließend werden verschiedene Regularitätsprinzipien wie die Frage, ob jede Menge reeller Zahlen messbar ist, sowohl unter Annahme des Auswahlaxioms als auch des Axioms der Determiniertheitsaxioms untersucht.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Kapitel 17. Die surreellen Zahlen
Zusammenfassung
Die surreellen Zahlen bilden einen Zahlenkörper, welcher sowohl die reellen Zahlen als auch die Ordinalzahlen verallgemeinert, aber auch infinitesimale Zahlen enthält. Neben den Eigenschaften dieses Zahlkörpers wird auch der Zusammenhang zu einem besonderen kombinatorischen Spiel, dem sogenannten Hackenbush, aufgezeigt. Konkret wird bewiesen, dass sich Hackenbushspiele und surreelle Zahlen gegenseitig entsprechen.
Lorenz Halbeisen, Regula Krapf
Backmatter
Metadaten
Titel
Eine Entdeckungsreise in die Welt des Unendlichen
verfasst von
Lorenz Halbeisen
Regula Krapf
Copyright-Jahr
2023
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-68094-0
Print ISBN
978-3-662-68093-3
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68094-0