Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Wer Analysis lernt, fragt sich irgendwann: Wie und warum kamen all diese merkwürdigen Begriffe zustande – Zahl, Funktion, Stetigkeit, Konvergenz, Differenzial, Integral? Wer hat eigentlich die mathematische Formel erfunden? Aber auch: Wovon handelt Mathematik überhaupt? Von unbezweifelbaren Wahrheiten? Von nützlichen Konstruktionen? Ist Mathematik Glaubenssache?

Diese und viele andere Fragen werden anhand der Originalliteratur aus den letzten 350 Jahren beantwortet: Newton, Leibniz, Johann Bernoulli, Euler, d'Alembert, Bolzano, Cauchy, Riemann, Weierstraß, Cantor, Dedekind, Hilbert, Schmieden und Laugwitz. Die Herkunft der heutigen Fachbegriffe aus ihren philosophischen Wurzeln wird so für den Leser nachvollziehbar, er erkennt die Brüchigkeit der teils willkürlich gesetzten Aspekte und erlebt den dadurch bedingten Wandel mathematischer Grundbegriffe.

Das Buch ist knapp, präzise und zugleich sehr anschaulich verfasst. Wer es verstehen will, muss schon einmal Erfahrung mit Analysis gemacht und von Funktion, Stetigkeit und Konvergenz etwas gehört haben – zum Verständnis sind aber fast überall Abiturkenntnisse ausreichend. Das Buch ist somit sowohl für Lehramtsstudierende und interessierte Mathematiker als auch Historiker und Philosophen geeignet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung: Die vier großen Themen dieses Buches

Zusammenfassung
Die Definition ist der Ausgangspunkt aller Mathematik, wie wir sie haben. Begriffswandel ist der Kern der geschichtlichen Entwicklung der Mathematik.
Hier geht es um eine Neubewertung des Fachgebiets Analysis. Nach der geometrischen Gründungsphase nahm sie die Gestalt der Algebraischen Analysis, dann der Werte-Analysis und schließlich der Mengen-Analysis bis hin zur Nichtstandard-Analysis an. Dabei wurden auch die Grundbegriffe geändert – und damit konsequenterweise die aus ihnen gebildeten Lehrsätze.
Die Urform unserer heutigen Analysis stammt von Cauchy. Sie unterscheidet sich von unserer gegenwärtigen deutlich.
Bisher unbekannt ist auch Weierstraß’ genauer Begriff der reellen Zahl, der erst im Jahr 2017 verstanden wurde.
Detlef D. Spalt

Kapitel 2. Die Erfindung der mathematischen Formel

Zusammenfassung
Die mathematische Formel wurde von Descartes erfunden. Diese Erfindung verdankt sich der von Descartes verwendeten Methode (Beschränke dich auf das Notwendige und bezeichne es so kurz wie möglich!) und seiner Weltauffassung. Ihr zufolge sind Zahlen zwar keine Körper, aber untrennbar mit Körperlichem verbunden – und daher müssen sie als Strecken gedacht werden. Deswegen kann es keine Wissenschaft von den Zahlen (Arithmetik) geben, sondern nur eine von der Ausdehnung (Geometrie).
Das „x“ in Descartes’ Formeln bezeichnet stets eine oder mehrere unbekannte Zahlen (also Strecken). Somit gibt es bei ihm keine negativen Zahlen.
Detlef D. Spalt

Kapitel 3. Zahlen, Strecken, Punkte – aber keine krummen Linien

Zusammenfassung
Descartes kennt keine negativen Zahlen. Daher haben seine Gleichungen auch keine negativen Lösungen („Wurzeln“), sondern nur „falsche“ (neben den „wahren“).
Gleichungen erhält Descartes als Resultat seiner Analyse des vorgelegten (geometrischen) Problems. Der traditionellen Forderung nach ist aber jede Analyse durch eine Synthese zu bestätigen – bei Descartes also durch die Konstruktion einer Linie aus der erhaltenen Gleichung. Doch Descartes’ Gleichungslösungen sind nur einzelne Zahlen, und Zahlen bestimmen Punkte, keine Linien. Demzufolge scheitert Descartes gewöhnlich bei der Synthese, denn er kann die gesuchte Linie nicht zeichnen.
Das Koordinatensystem hat Descartes nicht erfunden.
Detlef D. Spalt

Kapitel 4. Linien und Veränderliche

Zusammenfassung
Leibniz denkt die Descartes’sche Auffassung der Mathematik als Geometrie radikal zu Ende. Und da nach Leibniz’ Weltsicht alles veränderlich ist, verflüssigt er auch die Descartes’sche Unbestimmte x zur kontinuierlich Veränderlichen x. Die beliebig klein werdende Veränderliche nennt Leibniz „unendlich klein“, und mit ihrer Hilfe prägt er die noch heute grundlegenden Begriffe Konvergenz, Integral und Differenzial – alle drei in vollkommener Schärfe und Präzision (in den beiden ersten Fällen nicht unter ihrem heutigen Namen); natürlich als geometrische Begriffe.
Leider wurden diese Manuskripte erst viele Generationen nach ihrer Abfassung gedruckt, das Letzte erstmals 1993.
Detlef D. Spalt

Kapitel 5. Indivisibel: ein alter Begriff – oder: Woraus besteht das Kontinuum?

Zusammenfassung
Das Kontinuum besteht nicht aus Punkten. Dieser traditionelle Lehrsatz wird bewiesen (heute wird er nicht mehr als gültig angesehen).
Leibniz hat seine Lehre von den unendlich kleinen Veränderlichen keineswegs aus dem Nichts erfunden. Bereits im Mittelalter gab es dazu Vorstellungen – diese waren unter dem Namen „Indivisibel“ bekannt.
Auch Newton bediente sich dieser Vorstellungen, als er seine Lehre von den Fluxionen und Fluenten erfand. Das geschah etwas früher als Leibniz’ Erfindungen, doch Newtons Begriffe sind weniger klar als die von Leibniz. So erklärt es sich, dass sie heute außer Gebrauch sind.
Detlef D. Spalt

Kapitel 6. Gibt es unendliche Zahlen? – Ein unentschiedener Streit zwischen Leibniz und Johann Bernoulli

Zusammenfassung
Leibniz und Johann Bernoulli waren innige mathematische Freunde, die ganz vertraut, konstruktiv und äußerst produktiv zusammenarbeiteten. Dennoch konnten sie trotz langem Hin und Her in der folgenden Frage keine Einigkeit erzielen: Gibt es unendlich große Zahlen?
Und die heutige Mathematik in ihrem Mainstream bezieht beide Positionen zugleich: die eine bei den natürlichen Zahlen, die andere bei der Anzahl der bestimmten Stellen einer unendlichen Dezimalzahl.
Detlef D. Spalt

Kapitel 7. Johann Bernoullis Differenzialregeln – Was heißt „gleich“?

Zusammenfassung
Johann Bernoulli streift der Differenzialrechnung ihr geometrisches Gewand ab, überführt sie also in Algebra. Dazu benötigt er neben der gewöhnlichen Gleichheit noch eine zweite, gröbere Gleichheit. Diese vermag er jedoch nicht symbolisch, sondern nur begrifflich zu formulieren – was dem modernen Mathematiker das Verständnis sehr erschwert.
Johann Bernoulli unterrichtet seine Differenzialregeln dem Adligen l’Hospital, und dieser publiziert sie in Buchform (freilich in geometrischem Gewand). Ein Jahr früher erscheint ein Buch von Bernhard Nieuwentijt, und darin werden Leibniz’ Differenzialregeln in mathematisch untauglicher (rein philosophischer) Weise begründet.
Detlef D. Spalt

Kapitel 8. Euler verabsolutiert das formale Rechnen

Zusammenfassung
Was dem Hofstaat des 18. Jahrhunderts die Etikette, das war der Mathematik jenes Jahrhunderts die Formel, ausbuchstabiert von dem alles überragenden Mathematiker jenes Jahrhunderts, Leonhard Euler. Die von Descartes übernommene Formel wurde mit der durch Leibniz und Johann Bernoulli umgewandelten Unbestimmten als „Funktion“ zum neuen Zentrum einer Rechenkunst des Unendlichen: der Algebraischen Analysis.
Ganz neben dieser Formelrechenkunst schuf Euler auch erstmals die Begriffsnamen „Konvergenz“ und „Stetigkeit“, jedoch in völlig anderem Sinn als die spätere (und noch die heutige) Analysis.
Detlef D. Spalt

Kapitel 9. Akzente in der Algebraischen Analysis nach Euler

Zusammenfassung
Die Algebraische Analysis hatte neben Euler noch zwei weitere große Vertreter:
Eulers Zeitgenosse d’Alembert war ein philosophischerer Kopf als Euler. Er versuchte, den Begriff der Größe genauer zu fassen sowie Eulers algebraischen Funktionsbegriff an die Notwendigkeiten der Praxis anzupassen.
Eulers jüngerer Kollege Lagrange hingegen strebte eine radikale Verallgemeinerung der Algebraischen Analysis an. Er behauptete, sogar den Begriff der Ableitung allein auf das Rechnen begründen zu können und die unendlich kleinen Größen mit den zugehörigen komplizierten Argumenten dafür nicht zu benötigen. Dabei allerdings unterläuft Lagrange ein elementarer Fehler: Er gründet seinen Beweis auf einen Begriff, den er gar nicht definiert hat (den Begriff „Funktionswert“). So etwas ist aber in einer strengen Mathematik nicht erlaubt.
Detlef D. Spalt

Kapitel 10. Bolzano: der republikanische Revolutionär der Analysis

Zusammenfassung
Der wegen seiner als sozialrevolutionär gedeuteten Reden vom Kaiser von der Universität verbannte Bernard Bolzano dachte auch mathematisch revolutionär. Als Erster brachte er jene Begriffe von „Konvergenz“ und „Stetigkeit“ zustande, die eine der Ingenieurwissenschaft nützliche Analysis benötigt (und die wir noch heute verwenden).
Die Komplexität dieser Begriffe zeigt sich in Bolzanos sehr langen definierenden Sätzen – die jedoch stilistisch wunderbar und gänzlich frei von Kunstworten sind.
Dem späten Bolzano gelang es sogar, zu dem allgemeinst möglichen Funktionsbegriff vorzustoßen – doch wurde das erst im 20. Jahrhundert bekannt, als mit dem Druck seiner umfangreichen Fachmanuskripte begonnen wurde.
Detlef D. Spalt

Kapitel 11. Cauchy: der bürgerliche Revolutionär als Restaurator

Zusammenfassung
Augustin-Louis Cauchy revolutioniert die Analysis seiner Zeit von Grund auf – jedoch so konservativ wie nur irgend möglich. Konservativ war er, indem er den von Euler stammenden Funtionsbegriff unverändert ließ. Cauchys Revolution besteht darin, dass er als Erster den Begriff „Wert“ in den Kanon der analytischen Grundbegriffe aufnimmt (zuvor fehlte er dort) und insbesondere den bisher unbeachtet (und also unreflektiert) gebliebenen Begriff „Funktionswert“ völlig genau bestimmt.
Mit dieser Änderung der Grundbegriffe der Analysis ändert sich auch ihre Gestalt: Aus der Algebraischen Analysis wird die Werte-Analysis.
Unglücklicherweise (für die heutigen Mathematiker – nicht jedoch für die Mathematikgeschichtler) unterscheidet sich jedoch Cauchys Bestimmung des Begriffs „Funktionswert“ von der heutigen. Daher hat auch mancher der von Cauchy formulierten Sätze für ihn eine andere Bedeutung als für heutige mathematische Ohren.
Diese Unterschiede werden hier für die Begriffe „Konvergenz“ und „Ableitung“ genau erläutert.
Detlef D. Spalt

Kapitel 12. Das Interregnum: Analysis auf sumpfigem Boden

Zusammenfassung
Hier wird zuerst die Besonderheit der in diesem Buch befolgten Methode expliziert.
Danach wird gezeigt, zu welchen Bezeichnungsunschärfen die Analysis nach Cauchy gelangte und wie das geschah. Insbesondere wird gezeigt, dass Riemann den modernen Funktionsbegriff geprägt hat (nicht sein Lehrer Dirichlet).
Weder Abel noch Seidel haben Cauchys als falsch behaupten Lehrsatz widerlegt. Abel hat diesen Satz nur als falsch verleumdet, Seidel hat immerhin eine Alternative dazu bewiesen.
Detlef D. Spalt

Kapitel 13. Weierstraß: der letzte Versuch einer substanzialen Analysis

Zusammenfassung
Karl Weierstraß treibt die Werte-Analysis mit bislang ungekannter Strenge zu gänzlich unerwarteten Resultaten. Vor und anders als Cantor und Dedekind (dazu das nächste Kapitel) gibt er einen präzisen Begriff der reellen Zahl, der systematischer und elementarer ist als die späteren. (Dieser Begriff war bis zur Auffindung einer neuen Vorlesungsnachschrift im Jahr 2016 unverstanden.)
Den von Riemann verlangten Funktionsbegriff hält Weierstraß jahrzehntelang für falsch (weil inhaltsleer) – bis es ihm im Jahr 1885 gelingt, den heute nach ihm benannten Approximationssatz zu beweisen.
Und ähnlich wie zuvor Bolzano konstruiert Weierstraß im Jahr 1872 eine stetige Funktion, die für keinen Wert differenzierbar ist; doch diesmal wird dieses Ungeheuerliche bekannt und prägt entscheidend weitere Forschungsanstrengungen in der Werte-Analysis.
Detlef D. Spalt

Kapitel 14. Die Ablösung der Analysis von der Wirklichkeit – und die Einführung des aktualen Unendlich in die Grundlagen der Mathematik

Zusammenfassung
Bis zum Jahr 1849 entbehrte die Mathematik eines Zahlbegriffs, der den Beweisnotwendigkeiten der Differenzial- und Integralrechung gewachsen war. Das änderte sich durch die Ideen vierer Männer: Joseph Bertrand, Karl Weierstraß, Georg Cantor und Richard Dedekind.
Die Konstruktionen von Bertrand (Dedekind hatte später dieselbe Idee) und Weierstraß blieben unbemerkt (die von Bertrand nur fast; die Weierstraß’sche, weil niemand sie verstand), doch die von Cantor und Dedekind, beide aus dem Jahr 1872, wurden populär. Keine dieser drei Konstruktionen kam ohne die Akzeptanz unendlicher Begriffsbildungen (und also des aktualen Unendlich) aus: ein fundamentaler Einschnitt in der Entwicklung der Mathematik.
1899/1900 schlug David Hilbert ein Axiomensystem für diese Zahlen vor (erst im zweiten Anlauf ein korrektes). Allerdings bedeutet der Wechsel von einer sachlichen zu einer axiomatischen Begriffskonstruktion einen neuen fundamentalen Wandel, diesmal sogar im Wesen der Mathematik: sie wird so von einer sachbezogenen zu einer ordnungspolizeilichen Wissenschaft.
Detlef D. Spalt

Kapitel 15. Analysis mit oder ohne Paradoxien?

Zusammenfassung
Cantors Mengenlehre ist mit der Weierstraß’schen Analysis nicht widerspruchslos zu vereinbaren. Das zeigt der berühmte „Diagonalbeweis“ für die (angebliche) Überabzählbarkeit der rellen Zahlen. Denn in der Mengenlehre gilt \(2^n >n\) auch für unendliche n, während der genannte Beweis \(10^{\infty }=\infty \) verlangt.
In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts wurden Vorschläge zu einer Form der Analysis unterbreitet, in der diese letzte Gleichung nicht gilt. Die erste Ausgestaltung einer solchen Idee stammt von Curt Schmieden, dessen Perspektive hier genauer vorgestellt wird, da sie meines Wissens bislang nicht öffentlich diskutiert wurde.
Abschließend begründe ich, wie ich zur Abkehr von früheren mathematikgeschichtlichen Standpunkten gelangte und welche Folgen das hatte.
Detlef D. Spalt

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

    Bildnachweise