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2024 | Buch

Eine spielerische Reise in die geometrische Topologie

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Über dieses Buch

Dieses Buch greift auf Elemente aus dem Alltag, der Architektur und der Kunst zurück, um dem Leser elementare Begriffe der geometrischen Topologie zu vermitteln. Pac Man, U-Bahn-Pläne und architektonische Entwürfe sind der Ausgangspunkt für die Erkundung, wie sich das Wissen über Geometrie und insbesondere Topologie im Laufe der Zeit gefestigt hat, und bieten eine ebenso unterhaltsame wie spannende Lernreise.
Der Text beginnt mit einer Diskussion über mathematische Modelle und geht weiter zu Theorien von Plato und von Kepler zur Erklärung des Kosmos. Anschließend wird die Geometrie aus der Sicht von Felix Klein vorgestellt, die den Weg zu einer Einführung in die Topologie ebnet. n den letzten Kapiteln werden die Konzepte geschlossener, orientierbarer und nicht orientierbarer Flächen sowie Modelle von Hyperflächen vorgestellt. Dieses Buch, das sowohl mathematisch streng als auch zugänglich ist, wird ein breites Publikum ansprechen, von neugierigen Studierenden und Forschern in verschiedenen Wissensgebieten bis hin zu allen, die sich von der Macht der Mathematik bei der Darstellung unserer Welt - und darüber hinaus - angesprochen fühlen.
Die Übersetzung wurde mit Hilfe von künstlicher Intelligenz durchgeführt. Eine anschließende menschliche Überarbeitung erfolgte vor allem in Bezug auf den Inhalt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Mathematische Modelle
Zusammenfassung
In alltäglichen Situationen wird die Mathematik hauptsächlich in Form sogenannter mathematischer Modelle verwendet, das sind Allegorien, die das reale Problem an die Welt der Ideen anpassen und die Möglichkeit schaffen, mit dem Problem wissenschaftlich umzugehen.
Ton Marar
Kapitel 2. Antike Urknalltheorie
Zusammenfassung
Von Platon bis Kepler versuchten viele berühmte Philosophen, Wissenschaftler und Alchemisten mit einer bemerkenswerten Mischung aus Mathematik und Glauben die Schöpfung des Universums zu erklären. Sie gaben geometrische Beschreibungen von angeblich grundlegenden Bestandteilen eines harmonischen Kosmos, die manchmal wissenschaftlich und manchmal poetisch waren.
Ton Marar
Kapitel 3. Geometrie: Von der Unordnung zur Ordnung
Zusammenfassung
Die axiomatische euklidische Geometrie war 2000 Jahre lang einzigartig. Im 19. Jahrhundert zog dann mit dem Aufblühen der nicht-euklidischen Geometrien in gewissem Sinn die Moderne ein. Im Jahr 1872 präsentierte Felix Klein Geometrien ohne Axiome, indem er den Raum in Kongruenzklassen organisierte und in ihm eine Vielzahl von Geometrien definierte. Kleins Programm leitete die Postmoderne in der Geometrie ein.
Ton Marar
Kapitel 4. Topologie
Zusammenfassung
Das 20. Jahrhundert begann mit einer Vielzahl von Anwendungen nicht-euklidischer Geometrien. Die Topologie wurde als Verfahren zunächst hauptsächlich in Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie angewandt. Gegen Ende des 20. Jahrhunderts profitierten die Nobelpreisträger der Materialwissenschaften von der topologischen Klassifizierung von Flächen. Hier zeigen wir anhand von Fundamentalpolygonen und Wortdarstellungen, wie man bestimmte Flächen identifizieren kann.
Ton Marar
Kapitel 5. Die vierte Dimension
Zusammenfassung
Wir beschreiben einen vierdimensionalen Ort, das heißt, einen Teil eines vierdimensionalen Raums, der von einem Hyperwürfel eingeschlossen ist. Obwohl wir physisch keinen vierdimensionalen Ort betreten können, können wir ihn uns vorstellen. Es gibt kein magisches Portal von einer Welt zu einer anderen mit einer höheren Dimension.
Ton Marar
Kapitel 6. Nicht orientierbare Flächen
Zusammenfassung
Geschlossene nicht-orientierbare Flächen sind verbundene Summen projektiver Ebenen. Wir wollen hier die klassischen Modelle der projektiven Ebene im dreidimensionalen Raum konstruieren: die Kugel mit Kreuzkappe, die Steinersche Römische Fläche und die Boy-Fläche.
Ton Marar
Kapitel 7. Hyperflächen
Zusammenfassung
Modelle von dreidimensionalen Objekten mit Grenzen sind in unserer dreidimensionalen physischen Welt allgegenwärtig. Die Grenzen dieser Objekte sind Flächen, zweidimensionale Objekte, die wir sehen oder berühren können. Für dreidimensionale Objekte, die endlich groß sind und keine Grenze haben, die hier als Hyperflächen bezeichnet werden, haben wir keine physischen Modelle, daher sind sie viel schwieriger darzustellen. Wir können jedoch durch Analogie mit der Modellierung von Objekten mit weniger Dimensionen unser Verständnis einiger Hyperflächen erweitern.
Ton Marar
Metadaten
Titel
Eine spielerische Reise in die geometrische Topologie
verfasst von
Ton Marar
Copyright-Jahr
2024
Electronic ISBN
978-3-031-56105-4
Print ISBN
978-3-031-56104-7
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-031-56105-4

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