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Über dieses Buch

Die algebraische Geometrie ist eines der großen aktuellen Forschungsgebiete der Mathematik und hat sich in verschiedene Richtungen und in die Anwendungen hinein verzweigt. Ihre grundlegenden Ideen sind aber bereits im Anschluss an die Algebra-Vorlesung gut zugänglich und stellen für viele weitere Vertiefungsrichtungen eine Bereicherung dar.

Diese Einführung baut deshalb auf der Algebra auf und richtet sich an Bachelor- und Master-Studierende etwa ab dem fünften Semester. Die geometrischen Begriffe werden erst nah an der Algebra eingeführt – illustriert durch viele Beispiele. Anschließend werden sie auf die projektive Geometrie übertragen und weiterentwickelt. Auch weiterführende Konzepte aus der kommutativen Algebra und die Grundlagen der Computer-Algebra kommen dabei zum Tragen, ohne die technischen Anforderungen zu hoch zu schrauben.


Der Autor
Daniel Plaumann ist seit 2016 Professor für Algebra und ihre Anwendungen an der TU Dortmund. Sein Forschungsgebiet ist die reelle algebraische Geometrie.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Ebene Kurven

Zusammenfassung
Die algebraische Geometrie untersucht den Zusammenhang zwischen Polynomgleichungen in mehrerenVariablen (Algebra) und ihren Lösungsmengen (Geometrie). In diesem Kapitel erläutern wir einige grundlegende Ideen dieser Theorie am Beispiel ebener Kurven.
Daniel Plaumann

Kapitel 2. Affine Geometrie

Zusammenfassung
In diesem Kapitel geben wir eine Einführung in die Theorie der affinen Varietäten, der Lösungsmengen von Polynomgleichungssystemen im affinen Raum. Dem gegenüber stehen die projektiven Varietäten, die erst später eingeführtwerden. Als bekannt vorausgesetztwerden dabei einige Grundbegriffe der Algebra. Was darüber hinausgeht, wird zusammen mit der Geometrie entwickelt oder ist im Anhang ausführlicher dargestellt.
Daniel Plaumann

Kapitel 3. Projektive Geometrie

Zusammenfassung
In der projektiven Geometrie wird der affine Raum durch Hinzufügen von Punkten »im Unendlichen«, die man als Schnittpunkte paralleler Geraden verstehen kann, zum projektiven Raum erweitert. Viele geometrische Aussagen werden dadurch einfacher, weil es weniger Ausnahmefälle gibt. In der Algebra entspricht das dem Übergang von beliebigen Polynomgleichungen zu homogenen Gleichungen.
Daniel Plaumann

Kapitel 4. Lokale Geometrie

Zusammenfassung
In der projektiven Geometrie haben wir affine Varietäten durch Hinzunahme von Punkten im Unendlichen vergrößert. In diesem Kapitel gehen wir in gewisser Weise den umgekehrten Weg und verkleinern die Varietäten, indem wir zu offenen Teilmengen übergehen. Das führt auf die sogenannten quasiprojektiven Varietäten, die für viele Fragen flexibler sind als affine oder projektive und beide Typen von Varietäten beinhalten.
Daniel Plaumann

Backmatter

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