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2019 | Buch

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Einführung in die Balkentheorie nach Timoshenko und Euler-Bernoulli

verfasst von: Prof. Dr. Christian Spura

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Buchreihe : essentials

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik"

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Über dieses Buch

Die Balkentheorie erster Ordnung dient in der Elastostatik zur Berechnung von Spannungen und Verformungen an einem Balken. Dabei wird in die Timoshenko- (Theorie des schubweichen Balkens) und Euler-Bernoulli-Balkentheorie (Theorie des schubstarren Balkens) unterschieden. Mit Kenntnis der Spannungen und Verformungen können weiterführende Berechnungen, wie z. B. ein Festigkeitsnachweis, und die Auslegung von Balken durchgeführt werden. Die dazu notwendigen Modellannahmen und die entsprechenden Herleitungen werden in diesem essential verständlich und anwendungsgerecht dargestellt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einführung

Zusammenfassung

Die Balkentheorie beschreibt das Verformungsverhalten eines Balkens unter der Einwirkung von außen eingeprägten Belastungen (Kräfte, Momente, Streckenlasten usw.). Zur Berechnung sind die folgenden Geometrie- und Materialeigenschaften erforderlich:

Querschnittsfläche \( A \) [mm²]
Flächenträgheitsmoment \( I \) [mm⁴].

Christian Spura

Kapitel 2. Herleitung der Timoshenko-Balkentheorie

Zusammenfassung

Die Herleitung der Timoshenko-Balkentheorie werden wir anhand der Grundgleichungen der Elastostatik vornehmen. Zusätzlich berücksichtigen wir zwei weitere Modellannahmen für die Timoshenko-Balkentheorie:

Schubspannungen und Schubverformungen werden berücksichtigt
Schubspannung \( \tau_{m} \) und Gleitung \( \gamma_{m} \) sind entlang der Querschnittshöhe konstant.

Christian Spura

Kapitel 3. Herleitung der Euler-Bernoulli-Balkentheorie

Zusammenfassung

Die Herleitung der Euler-Bernoulli-Balkentheorie erfolgt auf die gleiche Weise wie die Timoshenko-Balkentheorie. Jedoch gelten für die Euler-Bernoulli-Balkentheorie die zusätzlichen Modellannahmen:

schubstarrer Balken (reine Biegung, kein Einfluss durch Schubverformung)
alle Balkenquerschnitte an jeder beliebigen x-Koordinate, die vor der Verbiegung senkrecht auf der Balkenachse standen, stehen auch nach der Verbiegung senkrecht auf der deformierten Balkenachse

1.

Bernoulli’sche Hypothese: Senkrechtbleiben der Querschnitte
alle Balkenquerschnitte an jeder beliebigen x-Koordinate sind vor der Verbiegung eben und bleiben auch nach der Verbiegung eben (es tritt keine Verwölbung der Querschnittsfläche auf)

2.

Bernoulli’sche Hypothese: Ebenbleiben der Querschnitte.

Christian Spura

Kapitel 4. Anwendung mittels Integrationsmethode

Zusammenfassung

Wie wir gesehen haben, können wir die Verformungsanteile der Biegung \( w_{b(x)} \) und des Schubs \( w_{S(x)} \) einfach zu einer Gesamtverformung \( w_{(x)} \) überlagern. Die Berechnung dieser beiden Verformungsanteile können wir mithilfe der Differenzialgleichungen (2.32) und (2.33) durchführen, indem wir die jeweiligen Integrationen durchführen.

Christian Spura

Kapitel 5. Anwendungsbeispiel

Zusammenfassung

Ein rechteckiger Balken (\( b = 40 \,\text{mm} \), \( h = 60 \,\text{mm} \), \( l = 1\, \text{m} \)) aus Stahl (\( E = 210.000 \,\text{N/mm}^{2} \), \( G = 80.769 \,\text{N/mm}^{2} \), \( n = 0{,}3 \)) wird durch eine konstante Streckenlast \( q_{0} = 5{,}8 \,\text{kN/m} \) belastet.

Christian Spura

Kapitel 6. Vergleich von Biege- und Schubverformung

Zusammenfassung

Um die Anteile der Biege- und Schubverformung an der Gesamtverformung zu betrachten, benötigen wir den Schlankheitsgrad \( \lambda \) eines Balkens:

Christian Spura

Backmatter

Titel: Einführung in die Balkentheorie nach Timoshenko und Euler-Bernoulli
verfasst von: Prof. Dr. Christian Spura
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-25216-8
Print ISBN: 978-3-658-25215-1
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-25216-8

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