Einführung in die Finanzmathematik

Jeder von uns hat schon Erfahrungen mit Zinsen gemacht: Wenn man einen Kredit aufnimmt oder einen negative Kontostand hat, muss man nicht nur die ausgeliehene Summe, sondern auch Zinsen dafür bezahlen, dass die andere Vertragspartei (die Bank) Geld zur Verfügung stellt, damit man das Haus, das Auto oder Konsungüter zu einem Zeitpunkt kaufen kann, zu dem das eigene vorhandene Geld dafür nicht ausreicht.

Als Arbitrage bezeichnen wir einen risikolosen Profit beim Handel mit Finanzgütern. Sei π _t der Wert eines Porfolios zum Zeitpunkt t und gelte π₀=0. Eine Arbitrage-Möglichkeit lässt sich formal als Strategie beschreiben, für welche für ein positives t gilt. Es ist naheliegend, dass Preise, für Finanzgüter, die für einen Marktteilnehmer Arbitrage erlauben, nicht „fair“ sein können (in Kapitel I haben wir das Arbitrage-Kriterium zur Festsetzung des Preises eines Vanilla Floaters bereits implizit verwendet)¹. Betrachten wir folgendes einfache Beispiel.

Wie wir in Kapitel II gesehen haben, stellt eine Option für den Käufer ein Recht dar, welches zu einem finanziellen Vorteil führen kann und beinhaltet keinerlei Verpflichtungen. Dieses Recht muss also etwas kosten und es stellt sich die Frage: Wie viel?

Wir wollen uns in den nun folgenden Kapiteln der stochastischen Modellierung von Preisbewegungen zuwenden. Dabei konzentrieren wir uns zunächst in den Kapiteln V–VIII auf Aktienpreise¹ und in Kapitel IX auf Zinsbewegungen.

Obwohl das im letzten Kapitel behandelte Binomialmodell und dessen Replikations-Strategien sehr anschaulich sind, vereinfacht es die Realität zu sehr, um unmittelbar relevant zu sein. In diesem Kapitel wollen wir nun ein allgemeineres zeitstetiges Modell betrachten, das heutzutage als klassisches Modell der Finanzmathematik gilt.

Für das im letzten Kapitel vorgestellte Black-Scholes-Modell ist es nun möglich, eine explizite Formel für den No-Arbitrage-Preis einer europäischen Call- bzw. Put-Option herzuleiten. Dies kann auf mehrere unterschiedliche Arten geschehen; wir wollen hier zwei Methoden nachvollziehen.

Wir haben in Kapitel VII gesehen, dass sich im Black-Scholes-Modell der Preis von europäischen Call-und Put-Optionen explizit berechnen lässt und die Annahme normalverteilter Log-Returns über den Zentralen Grenzwertsatz auch eine anschauliche Interpretation hat. Empirische Studien zeigen jedoch, dass Log-Returns tatsächlich gehandelter Aktien oder Indizes typischerweise nicht normalverteilt sind, sondern unsymmetrisch (also schief) sind und fettere Tails haben (also eine höhere Wahrscheinlichkeit für besonders große bzw. kleine Werte aufweisen) als die Normalverteilung. Abb. 36.1 illustriert dies am Beispiel des S&P 500, wobei die empirischen Log-Returns über den Zeitraum von Jänner 1999 bis Dezember 2008¹ (also 10 Jahre) mit einem Normalverteilungs-Fit verglichen werden. Neben der offensichtlichen Verschiedenheit der Dichten ergeben sich hier für den Schiefekoeffizienten bzw. für die Kurtosis² der empirischen Verteilung Werte von −0.156658 bzw. 10.6682, die deutlich von den Werten der Normalverteilung (0 bzw.3) abweichen.

Bisher haben wir meist angenommen, dass Zinssätze entweder konstant sind oder einer deterministischen Zeitabhängigkeit folgen. Tatsächlich zeigen aber auch Zinssätze stochastisches Verhalten (vgl. Grafik auf S. 5). Während diese Variabilität bei der Behandlung von Aktienderivaten oft nur eine untergeordnete Rolle spielt, ist sie bei der Bewertung von Zinsderivaten natürlich das zentrale zu modellierende Phänomen.

In diesem Kapitel stellen wir nach einer Beschreibung von Algorithmen mit binomialen und trinomialen Bäumen auch einige Verfahren vor, mit denen partielle Differentialgleichungen der Finanzmathematik, wie wir sie etwa in den Kapiteln VII, VIII und IX kennengelernt haben, numerisch gelöst werden können.

In vielen Situationen der Finanzmathematik ist die Dynamik zu komplex, um exakte Lösungen bzw. Formeln zu erhalten. Auch Bestimmungs(differential) gleichungen, welche dann numerisch gelöst werden können (wie beispielsweise im Kapitel X beschrieben), sind oft nicht verfügbar. In solchen Fällen kann man Pfade der beteiligten stochastischen Prozesse „simulieren“ und damit eine alternative (und oft einfache und effiziente) numerische Approximation der benötigten Größen erhalten. In diesem Kapitel wollen wir einige solche Simulationstechniken behandeln.

In der Praxis gibtes eine Vielzahl komplexer Finanzprodukte. In diesem Kapitel wollen wir dies anhand einiger konkreter strukturierter Finanzinstrumente illustrieren und Möglichkeiten zu ihrer Bewertung aufzeigen. Die Übungsaufgaben am Ende des Kapitels gehen dann jeweils detaillierter auf die vorgestellten Derivate ein.

In der Optionspreis-Theorie ging es um die Bestimmung eines Portfolios, das den Payoff der Option repliziert und somit das mit dem Besitz des Derivats verbundene Risiko eliminiert. Es gibt jedoch viele Marktteilnehmer, deren Ziel nicht das Hedgen ist, sondern die durch den Kauf und Verkauf von am Markt zur Verfügung stehenden Wertpapieren einen höheren Ertrag erzielen wollen als durch Anlegen des Kapitals in eine risikolose Anleihe zu erhalten wäre. Dies ist dann natürlich mit dem Risiko eines möglichen Verlustes verbunden. Die „Optimalität“ einer Anlagestrategie hängt somit von der definierten Zielfunktion und den gegebenen Nebenbedingungen bezüglich Ertrag und Risiko ab. In den folgenden Abschnitten werden wir zunächst einfache klassische Ansätze zur Mittelwert-Varianz-Optimierung in einperiodischen Modellen und schließlich auch ein (ebenfalls klassisches) Portfolio-Optimierungs-Problem in einem zeitstetigen Modell betrachten.

Eines der ureigensten Geschäftsfelder von Banken ist das Verleihen von liquiden Mitteln an Schuldner geknüpft an die Bedingung, dass der Schuldner zusätzlich zur Begleichung der Schuld zu einem späteren Zeitpunkt (laufend oder aber endfällig) Zinszahlungen leistet. Wir wenden uns nun einer Frage zu, die bereits in Kapitel I gestellt wurde, nämlich warum verschiedene Schuldner unter den gleichen Rahmenbedingungen unterschiedlich hohe Zinsen bezahlen müssen. Hierzu betrachten wir einen allgemeinen Kredit, der charakterisiert ist durch die Höhe der Nominalschuld N, sowie ein geplantes Rück- und Zinszahlungsschema, das dem Schuldner vorschreibt, zu bestimmten Zeitpunkten t _i (i=1,...,n) Zahlungen c _i zu leisten (hierbei wird T=t _n Laufzeit des Kredits genannt). Nun besteht die Möglichkeit, dass der Schuldner zu einem bestimmten Zeitpunkt τ nicht in der Lage ist, seinen Zahlungsverpflichtungen nachzukommen¹. In diesem Fall spricht man von einem Ausfall des Schuldners und nennt τ Ausfallszeitpunkt. Falls der Schuldner ausfällt, erleidet die kreditgebende Institution (im Folgenden als Bank bezeichnet) einen finanziellen Nachteil, da die eingeplanten Zahlungen c _i für t _i ≥τ nicht mehr geleistet werden. Um uns auf die Modellierung des Kreditrisikos selbst zu konzentrieren, unterstellen wir für den Rest dieses Kapitels eine konstante risikolose Zinsrate r. Damit ergibt sich der Barwert dieser entgangenen Zahlungen zum Ausfallszeitpunkt τ<T als wobei d:=min{i:t _i ≥τ}.