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Über dieses Buch

Funktionalanalysis hat sich in den letzten Jahrzehnten zu einer der wesentlichen Grundlagen der modernen angewandten Mathematik entwickelt, von der Theorie und Numerik von Differentialgleichungen über Optimierung und Wahrscheinlichkeitstheorie bis zu medizinischer Bildgebung und mathematischer Bildverarbeitung.
Das vorliegende Lehrbuch bietet eine kompakte Einführung in die Theorie und ist begleitend für eine vierstündige Vorlesung im Bachelorstudium konzipiert. Es spannt den Bogen von den topologischen Grundlagen aus der Analysis-Grundvorlesung bis zur Spektraltheorie in Hilberträumen; besondere Aufmerksamkeit wird dabei den zentralen Resultaten über Dualräume und schwache Konvergenz geschenkt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Topologische Grundlagen

Frontmatter

Kapitel 1. Metrische Räume

Zusammenfassung
Dieses Kapitel fasst kurz die wesentlichen – aus der Analysis bekannten – topologischen Begriffe zusammen, die in der Funktionalanalysis eine Rolle spielen: offene und abgeschlossene Mengen, Konvergenz, Vollständigkeit, und Stetigkeit.
Christian Clason

Kapitel 2. Kompakte Mengen

Zusammenfassung
Kompaktheit ist eine fundamentale metrische Eigenschaft, die weitreichende Aussagen über Mengen erlaubt. Dieses Kapitel behandelt die verschiedenen Kompaktheitsbegriffe sowie deren Konsequenzen, insbesondere die Sätze von Weierstraß und Arzelà–Ascoli.
Christian Clason

Lineare Operatoren in normierten Räumen

Frontmatter

Kapitel 3. Normierte Vektorräume

Zusammenfassung
Normierte Vektorräume und insbesondere Banachräume kombinieren die topologische Struktur eines metrischen Raums mit der algebraischen Struktur eines Vektorraums und bilden den fundamentalen Rahmen für die Funktionalanalysis. Dieses Kapitel stellt die wichtigsten Beispielen solcher Vektorräume und ihre wesentlichen Eigenschaften vor.
Christian Clason

Kapitel 4. Lineare Operatoren

Zusammenfassung
Lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen sind die wesentlichen Objekte, die in der (linearen) Funktionalanalysis untersucht werden. Dieses Kapitel behandelt ihre wesentlichen allgemeinen Eigenschaften.
Christian Clason

Kapitel 5. Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

Zusammenfassung
Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ist ein Herzstück der Funktionalanalysis: bestimmte punktweise Eigenschaften von linearen Operatoren in vollständigen Räumen gelten sogar gleichmäßig. Ausgehend vom Satz von Baire behandelt dieses Kapitel einige der Hauptsätze der Funktionalanalysis: die Sätze von Banach–Steinhaus, der offenen Abbildung, der stetigen Inversen, und dem abgeschlossenen Graphen.
Christian Clason

Kapitel 6. Quotientenräume

Zusammenfassung
Quotientenräume entstehen, wenn Elemente eines normierten Vektorraums zu Äquivalenzklassen zusammengefasst werden. Dieses Kapitel enthält wesentliche Resultate, die in späteren Kapiteln benötigt werden.
Christian Clason

Dualräume und schwache Konvergenz

Frontmatter

Kapitel 7. Lineare Funktionale und Dualräume

Zusammenfassung
Stetige lineare Funktionale auf einem normierten Vektorraum verallgemeinern die Komponentenauswertung von endlichdimensionalen Vektoren und bilden dessen Dualraum; diese Begriffe stellen fundamentale Werkzeuge in der Funktionalanalysis dar. Dieses Kapitel ist der Darstellung solcher Funktionale auf Folgen-, Funktionen-, und Quotientenräumen gewidmet.
Christian Clason

Kapitel 8. Der Satz von Hahn–Banach

Zusammenfassung
Der Satz von Hahn–Banach ist ein weiteres Grundprinzip der Funktionalanalysis, dass es erlaubt, stetige lineare Funktionale auf einem Unterraum stetig und linear fortzusetzen; eine alternative Fassung ermöglicht die Trennung konvexer Mengen durch Hyperebenen. Dieses Kapitel behandelt beide Fassungen zusammen mit ihren wichtigsten Folgen.
Christian Clason

Kapitel 9. Adjungierte Operatoren

Zusammenfassung
Ähnlich wie ein normierter Vektorraum durch seinen Dualraum charakterisiert wird, wird auch ein linearer Operator durch einen „dualen“ – adjungierten – Operator charakterisiert. Dieses Kapitel befasst sich vor allem mit dem Zusammenhang zwischen den wichtigsten Eigenschaften (Stetigkeit, Injektivität, Surjektivität) eines linearen Operators und seines Adjungierten; das Hauptresultat darüber ist der Satz vom abgeschlossenen Bild.
Christian Clason

Kapitel 10. Reflexivität

Zusammenfassung
Ein normierter Vektorraum ist reflexiv, wenn er mit dem Dualraum seines Dualraums identifiziert werden kann. Dieses Kapitel gibt wichtige Situationen an, in denen dies möglich ist.
Christian Clason

Kapitel 11. Schwache Konvergenz

Zusammenfassung
Die schwache Konvergenz in einem normierten Vektorraum verallgemeinert die komponentenweise Konvergenz in endlichdimensionalen Vektorräumen und ersetzt damit die oft fehlende Konvergenz bezüglich der Norm. In diesem Kapitel werden die wesentlichen Aussagen über diesen Konvergenzbegriff gezeigt, darunter die Sätze von Banach–Alaoglu und Eberlein–Smulian.
Christian Clason

Kompakte Operatoren in Banachräumen

Frontmatter

Kapitel 12. Kompakte Operatoren

Zusammenfassung
Kompakte Operatoren bilden schwach konvergente Folgen auf Folgen ab, die bezüglich der Norm konvergieren. Damit erhalten sie weitere nützliche Eigenschaften endlichdimensionaler Operatoren. In diesem Kapitel werden einige davon gezeigt, darunter der Satz von Schauder.
Christian Clason

Kapitel 13. Die Fredholm-Alternative

Zusammenfassung
Die Fredholm-Alternative gibt an, wann eine Eigenwertgleichung für kompakte Operatoren eine eindeutige Lösung hat.
Christian Clason

Kapitel 14. Das Spektrum

Zusammenfassung
Ein wesentliches Werkzeug in der linearen Algebra sind Eigenwerte und Eigenvektoren einer linearen Abbildung. In unendlichdimensionalen Räumen müssen solche Abbildungen aber keine Eigenwerte besitzen, was eine sorgfältigere Begriffsbildung verlangt. Als Hauptresultat dieses Kapitels wird jedoch gezeigt, dass ein kompakter Operator auf einem Banachraum stets endlich oder abzählbar viele Eigenwerte besitzt.
Christian Clason

Hilberträume

Frontmatter

Kapitel 15. Skalarprodukte und Orthogonalität

Zusammenfassung
Versieht man Banachräume mit einer zusätzlichen geometrischen Struktur des Skalarprodukts, so erhält man dadurch einen Hilbertraum, in dem viele weitere Eigenschaften endlichdimensionaler Vektorräume erhalten bleiben. Insbesondere stehen dort die Werkzeuge der Orthogonalprojektion und der Orthonormalbasis zur Verfügung.
Christian Clason

Kapitel 16. Der Satz von Riesz

Zusammenfassung
Der Satz von Riesz erlaubt es, den Dualraum eines Hilbertraums mit dem Raum selbst zu identifizieren.
Christian Clason

Kapitel 17. Spektralzerlegung im Hilbertraum

Zusammenfassung
Eines der zentralen Resultate in der linearen Algebra ist die Spektralzerlegung: Jede normale Matrix ist diagonalisierbar, d. h. kann bezüglich einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren als Diagonalmatrix dargestellt werden. Für kompakte Operatoren im Hilbertraum kann man ein analoges Resultat zeigen und so (für diese Operatoren) die Lücke zwischen linearer Algebra und Funktionalanalysis schließen.
Christian Clason

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