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Über dieses Buch

Das Buch bietet eine Einführung in die Topologie, Differentialtopologie und Differentialgeometrie. Nach einer Einführung in grundlegende Begriffe und Resultate aus der mengentheoretischen Topologie wird der Jordansche Kurvensatz für Polygonzüge bewiesen und damit eine erste Idee davon vermittelt, welcher Art tiefere topologische Probleme sind. Im zweiten Kapitel werden Mannigfaltigkeiten und Liesche Gruppen eingeführt und an einer Reihe von Beispielen veranschaulicht. Diskutiert werden auch Tangential- und Vektorraumbündel, Differentiale, Vektorfelder und Liesche Klammern von Vektorfeldern. Weiter vertieft wird diese Diskussion im dritten Kapitel, in dem die de Rhamsche Kohomologie und das orientierte Integral eingeführt und der Brouwersche Fixpunktsatz, der Jordan-Brouwersche Zerlegungssatz und die Integralformel von Stokes bewiesen werden. Das abschließende vierte Kapitel ist den Grundlagen der Differentialgeometrie gewidmet. Entlang der Entwicklungslinien, die die Geometrie der Kurven und Untermannigfaltigkeiten in Euklidischen Räumen durchlaufen hat, werden Zusammenhänge und Krümmung, die zentralen Konzepte der Differentialgeometrie, diskutiert. Den Höhepunkt bilden die Gaussgleichungen, die Version des theorema egregium von Gauss für Untermannigfaltigkeiten beliebiger Dimension und Kodimension.

In der zweiten Auflage habe ich eine Reihe von Textstellen leicht überarbeitet und einige Fehler berichtigt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Erste Schritte in die Topologie

In der Analysisvorlesung wird der Leser metrische Räume und Begriffe wie offen, abgeschlossen, konvergent, stetig und kompakt kennengelernt haben. Diese und einige andere Begriffe werden in der mengentheoretischen Topologie axiomatisch behandelt.In diesem Kapitel diskutieren wir die Grundlagen der mengentheoretischen Topologie. Da die Behauptungen in der Regel direkt aus den Definitionen folgen, bleiben sie dem Leser zumeist als Übung überlassen. Eine der Ausnahmen ist der Jordan’sche Kurvensatz, den wir ([CR] folgend) für Streckenzüge beweisen. Nach dem Studium dieses Kapitels sollte der Leser in der Lage sein, alles, was ihm gelegentlich aus der mengentheoretischen Topologie fehlt, problemlos und schnell nachzuarbeiten.

Werner Ballmann

2. Mannigfaltigkeiten

Für viele Probleme innerhalb und außerhalb der Mathematik sind Mannigfaltigkeiten die natürliche Klasse der zugrunde liegenden Räume. Im Sinne der Analysis sind Mannigfaltigkeiten lokal nicht von euklidischen Räumen zu unterscheiden und daher auf die Werkzeuge der Analysis zugeschnitten. Vieles aus der Analysis euklidischer Räume findet mit den Mannigfaltigkeiten seinen natürlichen Rahmen. Diskutiert werden Mannigfaltigkeiten und Untermannigfaltigkeiten, Lie’sche Gruppen, Tangentialvektoren und Tangentialräume, glatte Abbildungen und ihre Ableitungen, Vektorfelder und ihre Lie’sche Klammer. Abgerundet wird die Diskussion durch eine Reihe von Beispielen und Übungsaufgaben.

Werner Ballmann

3. Differentialformen und Kohomologie

Differentialformen spielen in verschiedenen mathematischen Bereichen eine Rolle. Hier behandeln wir sie hauptsächlich unter dem Gesichtspunkt der algebraischen Topologie, nämlich der de Rhamschen Kohomologie. Differentialformen sind glatte Familien reellwertiger alternierender multilinearer Abbildungen auf den Tangentialräumen der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit. Das äußere Differential führt zur de Rham’schen Kohomologie, mit deren Hilfe wir den Brouwer’schen Fixpunktsatz beweisen. Wir führen Orientierungen ein und diskutieren den Jordan-Brouwer’schen Zerlegungssatz. Schließlich definieren wir orientierte Integrale und beweisen die Integralformel von Stokes. Zahlreiche Aufgaben sind dem Rechnen mit Differentialformen gewidmet.

Werner Ballmann

4. Geometrie von Untermannigfaltigkeiten

Als Einführung in die Differentialgeometrie diskutieren wir in diesem Kapitel die Geometrie der Untermannigfaltigkeiten euklidischer Räume. Diese zerfällt in zwei Teile: die innere und die äußere Geometrie. Die innere Geometrie betrifft Messungen innerhalb der Untermannigfaltigkeit, die äußere Geometrie die Gestalt der Untermannigfaltigkeit relativ zum umgebenden euklidischen Raum. Entlang der Entwicklungslinien, die die Geometrie der Kurven und Untermannigfaltigkeiten in euklidischen Räumen durchlaufen hat, werden Geodätische, erste und zweite Fundamentalform, Zusammenhänge und Krümmung diskutiert. Den Höhepunkt bilden die Gaussgleichungen, die Version des Theorema egregium von Gauss für Untermannigfaltigkeiten beliebiger Dimension und Kodimension. Die Konzepte werden in einer Reihe von Beispielen ausgearbeitet und in Aufgaben eingeübt.

Werner Ballmann

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