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2019 | Buch

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Einführung in die hyperbolische Geometrie

Anleitungen für eine Entdeckungsreise

verfasst von: Dr. Michael Barot

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Das Buch bietet einen neuen und sehr zugänglichen Einstieg in eine neue Geometrie, die vor gar nicht so langer Zeit entdeckt wurde. Diese Geometrie, die hyperbolisch genannt wird, spielte eine Schlüsselrolle in der Entwicklung der Mathematik. Vor ihrer Entdeckung waren sich die Mathematiker sicher, den uns umgebenden Raum zu studieren, wenn sie sich mit Geometrie beschäftigten. Danach war klar, dass es mehr als nur eine Geometrie gibt und die Mathematik nur Modelle studiert, mit denen die Realität mehr oder weniger gut beschrieben werden kann. Es ist nun die Rolle der Physik zu entscheiden, welches Modell am besten zur Beschreibung geeignet ist.

Das Neue an dem hier präsentierten Zugang ist der Einsatz eines CGS (Computer Geometrie System), mit dem viele Eigenschaften dieser Geometrie selbst entdeckt werden können. Das Buch bietet viele Aufgaben zur Eigenaktivität. Ausführliche Lösungen erlauben eine gute Kontrolle des Lernprozesses. Es ist in einfacher Sprache geschrieben mit dem Ziel, dass es selbst an einem Gymnasium zum Einsatz kommen kann, was der Autor bereits mehrfach erfolgreich praktiziert hat.

Das Buch richtet sich an Studierende, Lehrer(innen) und Schüler(innen) an Gymnasien und an alle, die sich für die Mathematik interessieren.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Das Parallelenpostulat

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird der historische Zusammenhang geschaffen. Dargelegt wird zuerst die von den Griechen entdeckte axiomatische Methode. Die fünf Axiome der Elemente von Euklid werden vorgestellt und die Besonderheit des letzten Axioms, des sogenannten Parallelenpostulats, dargelegt. Die Entdeckung der hyperbolischen Geometrie kann dann als Konsequenz des Misserfolgs, dieses letzte Axiom aus den anderen herzuleiten, verstanden werden. Dadurch wird Verständnis geschaffen, dass es möglich ist, eine neue Geometrie zu betreiben, indem man das Parallelenpostulat negiert. Es ist diese neue Geometrie, die sogenannte hyperbolische Geometrie, die in dem Büchlein behandelt wird.

Michael Barot

Kapitel 2. Das Modell der Halbebene

Zusammenfassung

Ziel dieses Kapitels ist es, ein erstes Modell der hyperbolischen Geometrie vorzustellen. Begonnen wird mit der Betrachtung einiger Definitionen geometrischen Objekte bei Euklid, wie zum Beispiel Punkt und Gerade. Danach wird der Standpunkt Hilberts erörtert, nach dem die Definitionen irrelevant sind, und die definierenden Eigenschaften einzig durch die in den Axiomen ausgesprochenen Eigenschaften festgelegt werden. Diese Ansicht entspricht dem modernen Standpunkt. Diese Betrachtung ebnet den Weg, uns unter einer Geraden auch eine gekrümmte Linie vorstellen zu können. Danach wird das Modell der Halbebene nach Beltrami-Poincaré vorgestellt.

Michael Barot

Kapitel 3. Beispiel eines CGS: GeoGebra

Zusammenfassung

In diesem kurzen Kapitel werden die einzelnen Menüs von GeoGebra, einer Computer-Geometrie-Software, vorgestellt. Durch gezielte Übungsaufgaben kann der Leser die nötige Vertrautheit mit GeoGebra erlangen.

Michael Barot

Kapitel 4. Die h-Reexion

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird eine zentrale Frage beantwortet: Wie erfolgt die Spiegelung an einer Geraden im Modell der Halbebene nach Beltrami-Poincaré? Auf Grund einer Analogie mit der bekannten euklidischen Geometrie werden Anforderungen an die Reflexion in der hyperbolischen Geometrie gestellt. Aus diesen Anforderungen wird abgeleitet, dass diese h-Reflexion eindeutig bestimmt ist. Es stellt sich heraus, dass es eine den Geometern wohlbekannte Abbildung, nämlich die euklidische Kreisinversion, ist.

Michael Barot

Kapitel 5. Eigenschaften der e-Inversion

Zusammenfassung

Ziel dieses Kapitels ist es, dass die Leser vertraut werden mit den Eigenschaften der euklidischen Kreisinversion, da diese die zentrale Rolle der h-Reflexion übernehmen wird. Im Speziellen wird untersucht, was das Bild einer Geraden oder eines Kreises unter einer Kreisinversion ist. Weitere qualitative Aufgaben helfen dem Leser eine bessere Intuition zu vermitteln.

Michael Barot

Kapitel 6. Anwendungen der h-Reflexion

Zusammenfassung

In diesem kurzen Kapitel werden die Eigenschaften der euklidischen Kreisinversion für das Modell der Halbebene nach Beltrami-Poincaré ausgenutzt. Es werden erste Werkzeuge in GeoGebra erstellt, um einen hyperbolische Punkt an einer hyperbolischen Geraden oder an einem hyperbolischen Punkt zu spiegeln.

Michael Barot

Kapitel 7. h-Grundkonstruktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden drei wichtige Grundkonstruktionen in der hyperbolischen Geometrie betrachtet. Erstens ist dies die Errichtung eines Lots, Zweitens die der Mittelsenkrechten und Drittens die der Winkelhalbierenden. Diese Grundkonstruktionen stehen sodann als Werkzeuge für weitere Konstruktionen in späteren Kapiteln zur Verfügung.

Michael Barot

Kapitel 8. Geometrische Ӧrter

Zusammenfassung

Dieses Kapitel eröffnet den Weg zu weiteren wichtigen Objekten der hyperbolischen Geometrie: dem Kreis und der Abstandslinie. Diese werden als geometrische Örter in GeoGebra erforscht. So zeigt sich zum Beispiel, dass ein Kreis, als geometrischer Ort aller hyperbolischen Punkte, die von einem gegebenen hyperbolischen Punkt denselben Abstand haben, im betrachteten Modell ein euklidischer Kreis ist.

Michael Barot

Kapitel 9. Der Horozykel

Zusammenfassung

Dieses Kapitel vervollständigt die Betrachtung der elementaren Objekte der hyperbolischen Geometrie mit der Einführung eines weiteren Objekts, des sogenannten Horozykels. Dieser kann als unendlich großer Kreis oder unendlich ferne Abstandslinie verstanden werden. Es wird gezeigt, dass es, wie bei Punkten und Geraden, bis auf Kongruenz nur einen Horozykel gibt. Auch wird offensichtlich, dass die Landschaft der geometrischen Objekte in der hyperbolischen Geometrie reichhaltiger ist, als in der euklidischen Geometrie.

Michael Barot

Kapitel 10. Die h-Winkelsumme im h-Dreieck

Zusammenfassung

Eine der Merkwürdigkeiten der hyperbolischen Geometrie ist die Tatsache, dass die Winkelsumme in einem hyperbolischen Dreieck kleiner ist als 180◦. In diesem Kapitel werden aus dieser Tatsache verschiedene Folgerungen abgeleitet. Die erste Folgerung ist auch die wichtigste: zwei hyperbolische Dreiecke mit denselben Winkeln müssen kongruent sein. Als weitere Konsequenz ergibt sich dann, dass es unendlich viele verschiedene regelmäßige hyperbolische Polygone gibt, mit denen sich die hyperbolische Ebene parkettieren lässt. Einige dieser Parkettierungen werden gezeigt.

Michael Barot

Kapitel 11. Hyperbolien und seine Probleme

Zusammenfassung

Dieses Kapitel weitet die Betrachtung der hyperbolischen Geometrie auf praktische Überlegungen aus. Dazu wird zuerst ein dreidimensionales Analogon zum Modell der Halbebene nach Beltrami-Poincaré vorgestellt. Eine hyperbolische Ebene wird darin als solide Erde gedacht auf die die Gravitationslinien senkrecht auftreffen. Dies ermöglicht es, sich konkreten Fragestellungen zu widmen, wie zum Beispiel, wie denn ein Tisch zu fertigen sei. Diese Überlegungen machen die Unterschiede zur vertrauten euklidischen Geometrie offensichtlich.

Michael Barot

Kapitel 12. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Zusammenfassung

Dieses Kapitel bietet Gelegenheit, die bisher erworbenen Erkenntnisse anzuwenden in einem anderen Umfeld. Anstatt mit dem Computer sollen die Konstruktionen nun mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden. Die angebotenen Herausforderungen bestehen darin, aus der Vielzahl der betrachteten Überlegungen geschickt jene zu finden, die das Problem am elegantesten lösen.

Michael Barot

Kapitel 13. Andere Modelle

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden weitere Modelle für die hyperbolische Geometrie vorgestellt. Es wird jeweils praktisch gezeigt, warum ein neu vorgestelltes Modell zu einem bereits bekannten äquivalent ist.

Michael Barot

Kapitel 14. Sehen in Hyperbolien

Zusammenfassung

Dieses Kapitel bietet in mehreren Figuren die Ansicht, wie wir sehen würden, wenn wir die Gelegenheit hätten, die dreidimensionale hyperbolische Welt zu besuchen. Das Licht verbreitet sich entlang hyperbolischer Geraden. Im Augpunkt treffen daher die Sehstrahlen unter gewissen, berechenbaren Winkeln ein. Die Andersartigkeit der hyperbolischen Geometrie tritt dadurch besonders deutlich hervor.

Michael Barot

Kapitel 15. Distanz- und Flӓchenmessung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden noch zwei wichtigen Fragen nachgegangen, die bisher ausgeblendet blieben, nämlich: Wie kann die Distanz und der Flächeninhalt in der hyperbolischen Geometrie gemessen werden. Auf Grund natürlicher Forderungen an die Distanzmessung beziehungsweise die Inhaltsmessung werden Formeln zu deren Messung abgeleitet.

Michael Barot

Kapitel 16. Beweise

Zusammenfassung

Dieses Kapitel beinhaltet die Beweise, die im Text übersprungen wurden.

Michael Barot

Kapitel 17. Lösungen

Zusammenfassung

Hier können die Lösungen der zahlreichen Aufgaben eingesehen werden.

Michael Barot

Backmatter

Titel: Einführung in die hyperbolische Geometrie
verfasst von: Dr. Michael Barot
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-25813-9
Print ISBN: 978-3-658-25812-2
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-25813-9