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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

0. Orientierung

Zusammenfassung
Ein zentrales Problem in der Mathematik ist das Lösen von Gleichungen. Hier geht es speziell um lineare Gleichungssysteme. Die Rechenregeln für reelle Zahlen werden im Augenblick als bekannt vorausgesetzt. Sie werden aufgrund der Körpereigenschaften in der Analysis-vorlesung entwickelt; systematisch gehen wir etwas später hierauf ein. Wenn im vorliegenden Abschnitt 0.1 von Zahlen die Rede ist, kann sich der Leser darunter immer reelle Zahlen vorstellen, obwohl die bewiesenen Sätze allgemeiner für Elemente eines kommutativen Körpers gültig bleiben. Zunächst orientieren wir uns an einigen Beispielen.
Rolf Walter

1. Einige Grundstrukturen der Algebra

Zusammenfassung
Wir beginnen jetzt mit dem systematischen Aufbau. Dabei gehen wir im wesentlichen axiomatisch vor, d.h. es werden jeweils gewisse Grundregeln vorgegeben und aus diesen Folgerungen gezogen. Auf diese Weise entstehen die verschiedenen Strukturen der Mathematik. Das Ziehen von Folgerungen, das Beweisen, geschieht auf rein logischem Wege. Die naive Anschauung ist dafür kein sicheres Fundament. Deshalb können intuitive Argumente in einem mathematischen Beweis keinen Platz haben, sie stellen jedoch oft ein wesentliches Hilfsmittel dar, um Beweisideen ausfindig zu machen.
Rolf Walter

2. Vektorräume

Zusammenfassung
Die zentrale Struktur der linearen Algebra ist der Vektorraum. Ein Beispiel dafür haben wir bereits kennengelernt, nämlich den Rn, dessen Grundregeln im Satz A [0.1.8] aufgeschrieben sind. Diese dort beweisbaren Regeln werden nunmehr als Axiome verwendet. Dabei wird in zwei weiteren Richtungen verallgemeinert: Einmal sind statt reeller Zahlen die Elemente eines beliebigen Körpers als „Skalare“ zugelassen, zum zweiten wird vorerst keine Einschränkung über die „Dimension“ gemacht.
Rolf Walter

3. Lineare Abbildungen

Zusammenfassung
Mittels linearer Abbildungen lassen sich Vektorräume hinsichtlich ihrer linearen Struktur vergleichen. In der Analysis sind lineare Abbildungen die einfachsten Abbildungen, durch die man kompliziertere Funktionen annähern kann.
Rolf Walter

4. Determinanten

Zusammenfassung
Im ganzen Kapitel bezeichne V einen K-Vektorraum der endlichen Dimension n≧1.
Rolf Walter

5. Reelle Räume mit Skalarprodukt

Zusammenfassung
Die Vektorräume, die in den Anwendungen und in anderen Gebieten der Mathematik auftreten, besitzen meistens eine Zusatzstruktur metrischer oder topologischer Natur, so daß man Längen oder Umgebungen von Vektoren zur Verfügung hat (was in einem „nackten“ Vektorraum nicht der Fall ist). Wir behandeln hier die Zusatzstruktur „Skalarprodukt“. Euklidische Vektorräume, die in 0.3 motiviert wurden, sind z.B. reelle Vektorräume mit einem positiv definiten Skalarprodukt.
Rolf Walter

6. Eigenwerte und Jordansche Normalform

Zusammenfassung
Eigenwerte und Eigenvektoren sind erste Stufen zur Einsicht in die Feinstruktur eines einzelnen linearen Operators.
Rolf Walter

Anhang über Logik und Mengenlehre

Zusammenfassung
Vom Leser werden nur minimale Vorkenntnisse inhaltlicher Natur erwartet. In diesem Anhang stellen wir einige Voraussetzungen formalen Charakters zusammen. Auf eine strenge Behandlung muß hier verzichtet werden. Der Leser kann jedoch die Grundaussagen, die ohne Beweis angegeben werden, als Axiome auffassen. Ausführliche und gut verständliche Darstellungen findet man zur Logik bei Quine und zur Mengenlehre bei Halmos [2]. Es soll allerdings nicht verschwiegen werden, daß in diesem Zusammenhang Grundlagenfragen bestehen, die ihrer endgültigen Klärung noch harren.
Rolf Walter

Backmatter

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