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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Aussagenlogik

Zusammenfassung
Die Aussagenlogik, worunter hier die 2-wertige Aussagenlogik verstanden sei, entstand aus der Analyse von Verknüpfungen gegebener Aussagen A, B,wie z.B.
Wolfgang Rautenberg

Kapitel 2. Prädikatenlogik

Zusammenfassung
In der Mathematik und auch in anderen Wissenschaften wie z.B. der Informatik, hat man häufig mit Individuenbereichen zu tun, in denen gewisse Relationen und Operationen ausgezeichnet sind. Über Eigenschaften solcher Relationen und Funktionen kann man in der Sprache der Aussagenlogik nur teilweise und sehr eingeschränkt reden. Also muß man die sprachlichen Ausdrucksmittel verfeinern um neue Beschreibungsmöglichkeiten zu gewinnen. Dafür sind außer logischen Symbolen auch Variablen für die Individuen des betreffenden Bereichs nötig, sowie Symbole für die in Rede stehenden Relationen und Operationen.
Wolfgang Rautenberg

Kapitel 3. Der Gödelsche Vollständigkeitssatz

Zusammenfassung
Unser Ziel ist die Charakterisierung der Folgerungsrelation in Sprachen 1. Stufe durch einen Kalkül, ähnlich dem aussagenlogischen. Daß dieses Ziel grundsätzlich erreichbar ist, wurde zuerst von K. Gödel in [Gol] gezeigt. Insbesondere lassen sich dann auch alle Tautologien deduktiv gewinnen. Die letztere, ursprüngliche Fassung des Gödelschen Satzes impliziert nicht unmittelbar den Kompaktheitssatz, während die allgemeine Formulierung diesen mit einschließt.
Wolfgang Rautenberg

Kapitel 4. Grundlagen der Logikprogrammierung

Zusammenfassung
Logikprogrammierung dient weniger der Behandlung numerischer Probleme in Wissenschaft und Technik als vielmehr der Wissensverarbeitung, z.B. der praktischen Realisierung von Expertensystemen der künstlichen Intelligenz. Man muß unterscheiden zwischen Logikprogrammierung als einem theoretisch orientierten Gebiet und der für praktische Aufgaben in diesem Zusammenhang meistens benutzten Programmiersprache PROLOG. Diesbezüglich beschränken wir uns auf die Vorstellung einer stark vereinfachten Version, die aber das Typische erkennen läßt.
Wolfgang Rautenberg

Kapitel 5. Elemente der Modelltheorie

Zusammenfassung
Die Sätze von Löwenheim und Skolem wurden in der in 5.1 angegebenen Allgemeinheit zuerst von A. Tarski formuliert und bilden zusammen mit dem Kompaktheitssatz die Grundlage der um 1950 entstandenen und inzwischen weit gefächerten Modelltheorie. Hier werden die in der mathematischen Logik entwickelten Techniken mit den Konstruktionstechniken anderer Gebiete zum gegenseitigen Nutzen miteinander verbunden. Die folgenden Ausführungen geben diesbezüglich nur einen ersten Einblick, der z.B. in [CK] vertieft werden kann. Für weiterführende Themen wie z.B. die der saturierten Modelle, der Stabilitätstheorie und Verallgemeinerungen, oder der Modelltheorie anderer als elementarer Sprachen, muß auf die Spezialliteratur verwiesen werden, z.B. [Sa], [Sh], [Bu], [BF] und [Wa]. Eine recht anspruchsvolle Einführung in die Modelltheorie mit Literaturhinweisen gibt auch [Rot].
Wolfgang Rautenberg

Kapitel 6. Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit

Zusammenfassung
Die fundamentalen Resultate von Gödel über Unvollständigkeit genügend reichhaltiger formaler Systeme sowie von Tarski über Nichtdefinierbarkeit des Wahrheitsbegriffs und von Church über die Unentscheidbarkeit der Logik und andere Unentscheidbarkeitsresultate beruhen sämtlich auf gewissen Diagonalargumenten.
Wolfgang Rautenberg

Kapitel 7. Zur Theorie der Selbstreferenz

Zusammenfassung
Vorliegendes Kapitel kann nur einen Einblick in eine im letzten Viertel des 20. Jahrhunderts weit entwickelte Theorie geben. Wir beweisen den zweiten Unvollständigkeitssatz von Gödel, Löbs Theorem und andere mit der Selbstreferenz zusammenhängende Ergebnisse. Einige weiterführende Resultate werden anhand von geeigneten Anwendungen nur erläutert. Mit Selbstreferenz ist grob gesagt die Möglichkeit gemeint, in einer Theorie T über T selbst oder verwandte Theorien zu reden. Diese Thematik ist insgesamt von hohem erkenntnistheoretischen Wert.
Wolfgang Rautenberg

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