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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Periodische und Aperiodische Signale

Zusammenfassung
Zur Darstellung und Berechnung des Verhaltens von Netzwerken im Zeitbereich gehört die Kenntnis der mathematischen Beschreibungsform der in Netzwerken auftretenden Signale. Am Eingang, am Ausgang und innerhalb eines Netzwerks treten Zeitfunktionen der jeweils betrachteten Größen auf, die periodisch oder aperiodisch sind oder aus einer Überlagerung dieser beiden Formen bestehen. Dieses Kapitel gibt die mathematischen Definitionen der am häufigsten auftretenden Signale wieder und beschreibt ihre Anwendung auf zusammengesetzte Signalfunktionen.
Dietrich Naunin

2. Netzwerkelemente

Zusammenfassung
Zur Berechnung eines Netzwerkes ist es notwendig, die Kennlinien der einzelnen Netzwerkelemente einschließlich ihrer mathematischen Beschreibung zu kennen. Netzwerkelemente können lineares, nichtlineares, zeitinvariantes und zeitvariantes Verhalten haben. In diesem Kapitel werden die Spannungs- und Stromquellen als aktive Zweipole und die Widerstände, Kondensatoren und Spulen als passive Zweipole beschrieben: bei den letzteren wird vor allem der Einfluß von Nichtlinearitäten behandelt (s. auch |3||7|). Ein kurzer Abschnitt wird auch den Vierpolen wie dem Transformator und dem Transistor gewidmet, allerdings nur bei linearem Übertragungsverhalten.
Dietrich Naunin

3. Maschen- und Knotenanalyse

Zusammenfassung
Bei der Berechnung des Verhaltens von Netzwerken unterscheidet man zwei Fälle, die Berechnung des stationären und die des dynamischen Verhaltens. Stationäres Verhalten zeigt ein Netzwerk im eingeschwungenen Zustand, wenn alle Netzwerkgrößen bei Erregung des Netzwerkes durch eine periodische Eingangsgröße (Gleichspannungen und -ströme fallen als Grenzfälle mit der Frequenz Null auch in diese Kategorie) ebenfalls durch periodische Funktionen beschrieben werden können und damit alle Ausgleichsvorgänge abgeklungen sind. Das dynamische Verhalten schließt neben dem stationären Verhalten das Übergangsverhalten zwischen zwei stationären Zuständen des Netzwerkes mit ein und ist gekennzeichnet durch das Auftreten von nichtperiodischen Funktionen, z.B. e — Funktionen, in der Lösung. Für t → ∞ geht gewöhnlich das dynamische Verhalten in das stationäre Verhalten über. Der stationäre Lösungsanteil ist damit als Spezialfall in der Lösung für das dynamische Verhalten enthalten.
Dietrich Naunin

4. Schleifen- und Schnittmengenanalyse

Zusammenfassung
Die im vorangegangenen Kapitel vorgestellten beiden Analyseverfahren sind — wie dort angedeutet — nicht allgemeingültig. Allgemein werden netzartige Systeme (neben elektrischen Netzwerken z.B. auch Organisationssysteme) mit der Graphentheorie |1| beschrieben. Nach einer Einführung graphentheoretischer Begriffe wird mathematisch bewiesen, daß die auch in der Schleifen-und Schnittmengenanalyse vorkommenden Matrizen Z(jω) und Y(jω) zu linear unabhängigen Gleichungen für die vollständige Berechnung des Netzwerkverhaltens führen.
Dietrich Naunin

5. Zustandsgleichungen für das dynamische Verhalten von Netzwerken

Zusammenfassung
Die bisherigen Ausführungen galten dem stationären Verhalten von Netzwerken. Als dynamisches Verhalten bezeichnet man das Verhalten eines Netzwerks bzw. allgemein eines Systems, das zwischen zwei stationären Zuständen nach einer Änderung der Eingangsgrößen, z.B. beim Ein- oder Abschalten der Quellen des Systems, vorhanden ist. Da in elektrischen Netzwerken im allgemeinen Energiespeicher enthalten sind, deren Energie sich nicht sprunghaft ändern kann, entstehen Ausgleichsvorgänge zwischen zwei stationären Zuständen. Mathematisch drückt sich das dadurch aus, daß Differentialgleichungen auftreten, die das Verhalten des Systems beschreiben. Systeme, deren Verhalten durch Differentialgleichungen beschrieben werden, werden allgemein als dynamische Systeme bezeichnet. In diesem und den folgenden Kapiteln geht es deshalb um die Aufstellung, die Form und die Lösungswege von Differentialgleichungen für dynamische Systeme, im besonderen für elektrische Netzwerke. Zur systematischen Aufstellung der Differentialgleichungen wird wiederum die Graphentheorie herangezogen werden.
Dietrich Naunin

6. Laplace-Transformation

Zusammenfassung
Dieses Kapitel zeigt, wie mit Hilfe der Laplace-Transformation lineare Differentialgleichungen, die in der Praxis des Ingenieurs am häufigsten vorkommen, gelöst werden können. Die Laplace-Transformation ist dabei — wie schon erwähnt — nicht das einzige, aber das zweckmäßigste Mittel zur Lösung. Es soll hier jedoch nicht die genaue Ableitung der Transformation angegeben werden, sondern nur eine anwendungsorientierte Einführung. Die genaue Ableitung sowie die Beantwortung von Sonderfragen bei der Lösung von Differentialgleichungen sollten den im Literaturverzeichnis angegebenen Fachbüchern entnommen werden.
Dietrich Naunin

7. Lösung von Zustandsgleichungen mit der Übertragungsfunktion

Zusammenfassung
Das 5. Kapitel schloß damit ab, daß auf systematische Weise mit Hilfe des Netzwerkgraphen die Zustands- und Ausgangsgleichungen in Normalform für elektrische Netzwerke gefunden werden konnten. Dieses Kapitel behandelt nun die Lösung der Zustandsgleichungen unter Anwendung der im vorangegangenen Kapitel erworbenen Kenntnisse in der Laplace-Transformation. Es wird vor allem den wichtigen Begriff der Übertragungsfunktion einführen, die eine jedes dynamische System charakterisierende Form hat und zu einer Aussage darüber befähigt, wie ein Eingangssignal auf dem Weg durch das System zum Ausgang verändert wird.
Dietrich Naunin

8. Stabilität

Zusammenfassung
In technischen Systemen, vor allem in geregelten technischen Systemen mit Rückkopplungen, wird im allgemeinen ein Verhalten angestrebt, das aufgrund endlicher Werte der Systemgrößen stabil ist. Die Übertragungsfunktion befähigt dazu, über die Stabilität eines dynamischen Systems, das im folgenden auch als Übertragungssystem bezeichnet wird, Aussagen zu machen.
Dietrich Naunin

9. Lösung von Zustandsgleichungen mit dem Analogrechner

Zusammenfassung
Die Lösung von Differentialgleichungen ist nicht nur mit rein mathematischen Mitteln, sondern auch mit technischen Mitteln möglich. Eine Möglichkeit wäre der Aufbau des Systems selbst im Maßstab 1:1, um das Systemverhalten direkt zu untersuchen. Für einfache Netzwerke, wie sie bisher in diesem Buch exemplarisch betrachtet wurden, wäre das noch ein annehmbares Verfahren; für Energieübertragungssysteme jedoch oder für mechanische Systeme, in denen das Vorhandensein von Schwungmassen und Federn zu Differentialgleichungen führt, ist dieses Verfahren meistens zu aufwendig. Es böte sich dann eine Modelluntersuchung mit Maßstabsreduzierung an; aber diese Methode ist auch oft sehr aufwendig und kann außerdem Fragen über Maßstabseinflüsse aufwerfen. Es sind deshalb für die technische Lösung von Differentialgleichungen Analogiebetrachtungen zu Hilfe genommen worden. Sie beruhen auf der Tatsache, daß für unterschiedliche Systeme durchaus gleiche Differentialgleichungen gelten können, die sich nur durch die auftretenden Faktoren, z.B. durch die Werte der Elemente in A oder b, unterscheiden. Betrachtet man diese Faktoren in den verschiedenartigen Systemen, haben sie oft feste Beziehungen zueinander. Z.B. hat in mechanischen Systemen mit der Geschwindigkeit als Zustandsgröße die Trägheit den gleichen Stellenwert wie die Induktivität in elektrischen Systemen mit dem Strom durch eine Spule als Zustandsgröße: Die an einer Masse angreifende Kraft hat bei Berücksichtigung von Trägheit und Reibung diesselbe Wirkung auf die Geschwindigkeit der Masse wie die Spannung an einer Spule mit der Induktivität L und dem Widerstand R auf den Strom in dieser Spule. Beide Zustandsgrößen verhalten sich bei gleicher Erregung in ihren Systemen analog zueinander, die Faktoren Trägheit und Induktivität bzw. Reibung und Widerstand entsprechen einander. Da ein elektrisches System in vielen Fällen leichter aufzubauen ist als ein mechanisches, könnte man demnach am elektrischen Netzwerk Untersuchungen machen und die Ergebnisse mit Hilfe der zueinander analogen Faktoren und Größen in den gleichartigen Differentialgleichungen dann in das mechanische System umrechnen.
Dietrich Naunin

10. Lösung von Zustandsgleichungen mit dem Digitalrechner

Zusammenfassung
Seit der weiten Verbreitung der Digitalrechner ist die Berechnung von dynamischen Systemen immer mehr den Digitalrechnern unter Benutzung von besonderen Simulationsprogrammsystemen übertragen worden. Der Vorteil liegt in der größeren Genauigkeit, in dem bei vorhandenen Programmierungsgrundkenntnissen oft nur geringen zusätzlichen Programmierungsaufwand, der allerdings von dem benutzten Programmsystem abhängig ist, im Rechnen mit Originalwerten, die praktisch unbegrenzt groß sein können, und in der Möglichkeit, leicht komplizierte Funktionen und Nichtlinearitäten, die eigentlich in jedem System auftreten, einzubeziehen. Der Analogrechner hat demgegenüber den Vorteil des meist schnelleren und direkteren Zugriffs und der unmittelbaren Untersuchung von Parameteränderungen.
Dietrich Naunin

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