Einführung in die numerische Berechnung von Finanzderivaten

Computational Finance

verfasst von: Rüdiger Seydel

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Springer-Lehrbuch

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Das Lehrbuch erklärt numerische Methoden der Finanzmathematik exemplarisch anhand der Berechnung von Optionspreisen. Nach einer Einführung in die Modellierung wird die numerische Simulation der Stochastik dargestellt, mit Zufallszahlen und Monte-Carlo-Verfahren. Es folgt die Numerik zu Black-Scholes-Gleichungen, mit Differenzenverfahren und Finite-Element-Verfahren. Die vorgestellten Algorithmen lassen sich unmittelbar implementieren.

Übungsaufgaben, instruktive Abbildungen sowie themenbezogene Anhänge und ergänzendes Material auf der Webseite des Autors runden das Buch ab.

Die zweite Auflage ist stark überarbeitet und erheblich umfangreicher: Verwerfungsmethoden und Monte-Carlo-Methoden für Optionen amerikanischen Typs ergänzen die stochastischen Methoden und ein neues Kapitel befasst sich mit der Bewertung von Optionen auf zwei Assets, mit Strafterm-Methoden und höherdimensionalen Bäumen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Elemente der Finanzmodellierung

Zusammenfassung

Was verstehen wir unter einer Option? Eine Option ist ein Vertrag, der seinem Besitzer das Recht einräumt, einen zugrundeliegenden Basiswert zu einem festgelegten Preis zu kaufen oder zu verkaufen. Der zur Option gehörende Basiswert oder Underlying ist beispielsweise eine Aktie oder ein Bündel von Aktien eines Unternehmens. Andere Beispiele von Basiswerten sind ein Aktienindex (wie der DAX) oder eine Währung. Da die Optionen vom jeweils zugrundeliegenden Basiswert abgeleitet sind, heißen sie auch Derivate (s. Anhang A1). Die Akteure in der Optionsarena sind der Stillhalter (engl. writer), der die Option emittiert und ihre Ausstattung festlegt, und der Anleger, der die Option kauft und dann als Inhaber (holder) je nach Marktlage Entscheidungen treffen muss.

Rüdiger U. Seydel

2. Berechnung von Zufallszahlen

Zusammenfassung

Für die Simulation und die Bewertung von Finanzinstrumenten benötigt man Zahlen, die nach bestimmten Vorgaben verteilt sein sollen. In Abschn. 1.5 haben wir zum Beispiel Zahlen \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\) benötigt. Nach Möglichkeit sollen die Zahlen Zufallszahlen sein. Allerdings erfolgt die Berechnung von Zufallszahlen im Digitalrechner nach deterministischen, reproduzierbaren Methoden. Deswegen heißen die so erzeugten „Zufallszahlen“ genauer Pseudozufallszahlen.

Rüdiger U. Seydel

3. Monte-Carlo-Simulation

Zusammenfassung

Das Kapitel 3 wendet sich der Monte-Carlo-Simulation von Optionen zu. Allgemeine stochastische Differentialgleichungen müssen hierzu numerisch integriert werden — das erste Thema des Kapitels. Der Prototyp einer solchen Methode ist das Euler-Verfahren, mit dem sich die meisten Beispiele simulieren lassen. Das wird dann zunächst angewandt bei Optionen europäischen Typs, bei denen das Vorgehen der Monte-Carlo-Integration entspricht. Die erzielbare Genauigkeit mit Verzerrung und statistischem Fehler werden beschrieben. Möglichkeiten der Varianzreduktion ergeben sich durch die Methode der antithetischenVariablen und die der Control Variates. Erheblich aufwändiger als europäische Optionen ist die Simulation von amerikanischen Optionen. Hierzu werden über Stoppzeiten parametrische Methoden eingeführt, sowie ein Prototyp von Regressionsmethoden.

Rüdiger U. Seydel

4. Finite Differenzen für Standardoptionen amerikanischen Typs

Zusammenfassung

In diesem Kapitel widmen wir uns der numerischen Lösung der Black-Scholes-Gleichung. Entsprechend sei das Szenario vorausgesetzt, das durch die Annahmen 1.2 charakterisiert ist. Insbesondere genügt der Preis S des Underlyings als stochastischer Prozess einer geometrischen Brownschen Bewegung. Dann löst im Fall einer standard-europäischen Option deren Wertfunktion V(S, t) die Black-Scholes-Gleichung (1.5). Die Lösung dieser speziellen partiellen Differenzialgleichung ist nicht unser eigentliches Ziel, da es für sie die analytische Lösungsformel (1.10) gibt. Vielmehr sollen amerikanische Optionen berechnet werden, eventuell auch mit anderen Payoffs. Insoweit müssen die Annahmen 1.2 abgeschwächt werden. Es geht in diesem Kapitel nicht um die Berechnung einzelner Werte V(S ₀, 0) – hierfür haben wir Baumverfahren –, sondern um die Berechnung von Flächen V(S, t) für den Halbstreifen S > 0, 0 ≤ t ≤ T. Aus diesen Flächen der Wertfunktion lassen sich auch wichtige Griechen berechnen.

Rüdiger U. Seydel

5. Optionen auf zwei Assets und finite Elemente

Zusammenfassung

Überwiegend haben uns bisher Optionen auf nur ein Asset beschäftigt. Numerische Methoden für solche Standardoptionen wurden in Kap. 1 (Baummethoden), Kap. 3 (Monte-Carlo-Methoden) und Kap. 4 (Finite-Differenzen-Methoden) diskutiert. Wie schon in Kap. 1 angemerkt, gibt es außer den Standardoptionen eine Vielzahl weiterer Optionen, die als „exotische“ Optionen bezeichnet werden, auch wenn ihre Nutzung Alltag ist. Dazu gehören Optionen mit komplizierten Payoffs, pfadabhängige Optionen und Optionen mit mehr als einem Underlying. Diesem riesigen Feld kann ein Lehrbuch nicht annähernd gerecht werden. Wir beschränken uns in diesem fünften Kapitel auf Optionen mit zwei Assets. Die entsprechenden numerischen Methoden lassen sich weitgehend auf drei oder mehr Assets verallgemeinern, werden dann aber so aufwendig, dass sie in ihren Grundversionen kaum durchführbar sind.

Rüdiger U. Seydel

Backmatter

Titel: Einführung in die numerische Berechnung von Finanzderivaten
verfasst von: Rüdiger Seydel
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-50299-0
Print ISBN: 978-3-662-50298-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-50299-0