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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch behandelt zeitgemäß, anwendungsorientiert und ausführlich die theoretischen Grundlagen der Numerik. Dabei sind – zusätzlich zu den gängigen Inhalten – zahlreiche angewandte Beispiele und Praxis-Exkurse eingebunden, um das Verständnis nachhaltig zu fördern. Auf die sich wiederholenden, zentralen Kernkonzepte der Numerik (z.B. Stabilität, Effizienz, Robustheit, Genauigkeit,…) wird explizit eingegangen, und diese Begriffe werden klar gegeneinander abgegrenzt. Außerdem werden Numerische Verfahren der Linearen Algebra und der Analysis getrennt dargestellt, was den Studierenden den Zugang zur Numerik – ausgehend von den beiden Grundvorlesungen des Mathematik-Studiums – deutlich erleichtert.Das Buch ist daher sowohl für Studierende der Mathematik als auch der Physik, der Informatik oder der Ingenieurwissenschaften bestens geeignet.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

In der numerischen Mathematik werden Verfahren zum „Lösen“ von mathematischen Problemen und Aufgaben entworfen und analysiert. Dabei ist die numerische Mathematik eng mit anderen Zweigen der Mathematik und der Informatik verbunden und kann oft nicht von dem Anwendungsgebiet wie der Chemie, Physik oder Medizin, den Ingenieurswissenschaften oder Ökonomie getrennt werden.

Thomas Richter, Thomas Wick

Numerische Methoden der linearen Algebra

Frontmatter

2. Grundlagen der linearen Algebra

Wir sammeln zunächst einige Definitionen und grundlegende Resultate. Für ausführliche Darstellungen sei beispielsweise auf den Klassiker [21] verwiesen.

Thomas Richter, Thomas Wick

3. Lineare Gleichungssysteme

Die LR-Zerlegung einer regulären Matrix

Thomas Richter, Thomas Wick

4. Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung

Die Matrix R, welche zur Rückwärtselimination invertiert werden muss, hat eine unter Umständen weitaus schlechtere Konditionierung als die Matrix A selbst (welche auch schon sehr schlecht konditioniert sein kann).

Thomas Richter, Thomas Wick

5. Berechnung von Eigenwerten

In diesem Abschnitt befassen wir uns mit dem Eigenwertproblem: Zu einer Matrix

Thomas Richter, Thomas Wick

Numerische Methoden der Analysis

Frontmatter

6. Nullstellenbestimmung

Durch die Anwendung des Zwischenwertsatzes wissen wir, dass mindestens eine Nullstelle im Intervall [-10, 10] existiert. Ein einfaches numerisches Verfahren zur Approximation von Nullstellen basiert auf der wiederholten Anwendung des Zwischenwertsatzes.

Thomas Richter, Thomas Wick

7. Numerische Iterationsverfahren für lineare Gleichungssysteme

Die LR-Zerlegung einer regulären Matrix

Thomas Richter, Thomas Wick

8. Interpolation und Approximation

In diesem Kapitel befassen wir uns einerseits mit der Frage, wie eine Reihe von Daten (z. B. aus physikalischen Messungen, experimentellen Beobachtungen, Börsendaten etc.) durch eine möglichst einfache Funktion p(x) (z. B. Polynome) angenähert werden kann. Auf der anderen Seite soll geklärt werden, wie komplizierte Funktionen durch einfachere Funktionen aus einer bestimmten Klasse (z. B. Raum der Polynome) approximiert werden können.

Thomas Richter, Thomas Wick

Backmatter

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